8. ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.1. Установившеесяламинарноедвижениевязкой несжимаемойжидкостивцилиндрическойтрубе

Установившееся ламинарное движение несжимаемой вязкой жидкости через цилиндрическую трубу является одним из случаев, для которого можно получить простое и точное решение уравнений Навье Стокса. Будем рассматривать движение жидкости на участке трубы, достаточно удаленном от входного сечения, чтобы ламинарный режим движения можно было считать стабилизированным.

Ось х1, вдоль которой направлен поток, совместим с осью трубы. Компоненты скорости V2 и V3 равны нулю. Для трубы, расположенной горизонтально, массовая сила (сила тяжести) также равна нулю.

Перечисленные упрощения позволяют свести уравнения Навье Стокса и уравнение неразрывности к следующей системе уравнений:

1 P

2

2

2

V1

V1

V1

V1

x

V1 x

x2

x2

x2

;

1

1

1

2

3

1 P

0

;

x2

1 P

(8.1)

0

;

x3

V

x1 0.

1

Из этих уравнений непосредственно следует, что скорость является функцией только координат х2 и х3, а давление зависит только от координаты х1. Это означает, что во всех поперечных сечениях трубы распределения скоростей одинаковы, а поля давлений однородны.

Таким образом, система уравнений (8.1) сводится к одному:

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

172

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.1.Установившееся ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

2V		2V		1 dP
x21		x21			dx .	(8.2)
2		3		1

Поскольку левая часть равенства (8.2) является функцией только х2 и х3, а правая – функцией только х1, то ввиду независимости координат друг от друга существование этого равенства возможно лишь в том случае, когда каждая его часть представляет постоянную величину.

Обозначив через P падение давления на участке трубы длиною l , можем написать

dP	const	P
dx		l .
1

Величина Pl представляет движущий перепад давления на единицу

длины, идущий на преодоление сил сопротивления, обусловленных трением. Распределение скоростей по сечению трубы симметрично относительно ее оси. Поэтому целесообразно лапласиан от V1 в уравнении (8.2) выразить

в полярных координатах:

2V1 2V1 1 V1 1 2V1 .

R2 R R R2 2

Но в силу осевой симметрии 2V1 2 0 . Следовательно,

	2V		1	dV		1		d		dV
2V	1			1					R	1	.
1	dR2		R dR			R dR				dR

Теперь вместо (8.2) будем иметь (подстрочный индекс «1» в дальнейшем опускаем)

1		d		dV		P	.	(8.3)
			R			l
R dR				dR

Первое интегрирование дает

R dV P R2 C1. dR 2 l

В результате повторного интегрирования получим

V	P	R2	C1 ln R C2.	(8.4)
	4 l

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

173

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.1.Установившееся ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Произвольная постоянная C1 должна быть положена равной нулю. Это вытекает из условия, что при R = 0 (т. е. на оси трубы) скорость должна иметь конечное значение. При C1 0 скорость на оси трубы приняла бы, со-

гласно уравнению (8.4), бесконечно большое значение. Следовательно, C1 = 0. Постоянную C2 находим из граничного условия на поверхности трубы:

R = R0 (R0 – радиус трубы); V = 0. Имеем

Ñ2 P R2 .

4 l 0

Таким образом, получим следующее выражение для распределения скоростей по сечению цилиндрической трубы:

V	P	R2	R2 .	(8.5)
	4 l	0
				Рис. 8.1

Как видно из уравнения (8.5), это распределение подчиняется параболическому закону (рис. 8.1).

Максимальная скорость Vmax достигается на оси трубы, т. е. при R = 0:

	Vmax	P	R02 .	(8.6)
		4 l

Пользуясь этим выражением, можно уравнение (8.5) переписать в виде

			R	2
						,
	V Vmax 1	R
			0

	или
		V			R		2
			1				.	(8.7)
	V				R0
		max

Зная распределение скоростей, можно определить секундный объемный расход жидкости через поперечное сечение трубы.

Для элементарного расхода через кольцевую полоску (рис. 8.2) шириною dR и площадью сечения dS 2 RdR можем написать

dQ V 2 RdR.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

174

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.1.Установившееся ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Чтобы найти расход через все сечение трубы, нужно это уравнение проинтегрировать, используя выражение (8.5) для распределения скоростей,

Q R0V	2 RdR P R0			R2	R2 RdR.
		2 l		0
0			0
Отсюда
Рис. 8.2	Q	P R04 .			(8.8)
		8 l

Уравнение (8.8) выражает закон Пуазейля, согласно которому объем несжимаемой жидкости, проходящий в единицу времени через сечение цилиндрической трубы при ламинарном движении, пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса и обратно пропорционален динамическому коэффициенту вязкости жидкости.

Разделив расход жидкости на площадь сечения трубы S R02 , получим среднюю скорость по сечению трубы

	Q		PR4		P	R2.
V			0				(8.9)
			8 l R02
ср	S				8 l 0

Из сравнения выражений (8.6) и (8.9) следует, что при ламинарном движении в цилиндрической трубе максимальная скорость на оси трубы вдвое больше средней скорости по сечению, т. е.

Vmax 2Vср.

(8.10)

Перейдем теперь к определению величины гидравлического сопротивления при движении жидкости в трубе. Для установившегося движения мерой этой величины служит перепад давления на данном участке трубы. Обычно величину P выражают через скоростной напор, определенный по средней скорости потока; в частности, для цилиндрической трубы

	P	l		Vср2	.	(8.11)
		d	2

Здесь l длина рассматриваемого участка трубы; d – диаметр участка трубы; – безразмерный коэффициент пропорциональности, именуемый коэффициентом сопротивления.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

175

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.1.Установившееся ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Вобщем случае коэффициент сопротивления зависит как от природы жидкости и скорости ее движения, так и от состояния поверхности трубы (т. е. от ее шероховатости). В рассматриваемом здесь случае ламинарного движения, т. е. движения, совершающегося при Re Reкр , шероховатость сте-

нок не оказывает влияния на коэффициент сопротивления. Значение этой величины может быть найдено исключительно расчетным путем. Для этой цели воспользуемся уравнениями (8.11) и (8.9), выразив последнее относительно

P :

	P	l		Vср2		8 lVср		32 lVср	.
		d		2		R02		d 2

Отсюда находим

64		,
	Vсрd

или

	64
	Reср .	(8.12)

Это уравнение выражает закон сопротивления для ламинарного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

Зная коэффициент сопротивления и среднюю скорость, вычисляемую по заданному расходу, можно по формуле (8.11) найти перепад давления. В свою очередь, по перепаду давления можно определить напряжение трения на стенке трубы. Воспользуемся условием равновесия для объема жидкости, заключенного между двумя выделенными сечениями трубы (рис. 8.3). Перепад давления, приложенного к сечению трубы с площадью R02 , должен

уравновешиваться силой трения, действующей на боковую поверхность рассматриваемого участка l трубы, т. е. P R02 w 2 R0l . Отсюда

w	P	R0	.	(8.13)
	l 2

Таким образом, напряжение трения на стенке цилиндрической трубы равно перепаду давления на участке трубы длиною, равной половине радиуса.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

176

Re Reêð

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.1.Установившееся ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе

Рис. 8.3

Подставив в выражение (8.13) значение P из формулы (8.11), получим зависимость между напряжением трения на стенке и коэффициентом сопротивления

w		Vср2 .	(8.14)
	8

Важно отметить, что выражение (8.13) справедливо для любого режима движения, как ламинарного, так и турбулентного, поскольку оно вытекает из общего условия равновесия сил, приложенных к движущейся жидкости. То же самое следует сказать и о формуле (8.14), основанной на использовании общей зависимости (8.11).

8.2. Основныеэлементытеориитурбулентногодвижения

Выше было установлено, что при ламинарный режим движе-

ния жидкости уступает место турбулентному. Этот переход связан с возрастанием инерционных сил, действующих на поток возмущающим образом и усиливающих неупорядоченность движения, по сравнению с силами вязкого сопротивления, которые способствуют сохранению упорядоченной формы движения. По характеру перемещения отдельных частиц жидкости турбулентный поток является всегда нестационарным, даже в том случае, когда наблюдаемая скорость потока, определяемая, например, как средняя по расходу, остается во времени постоянной. В этом случае скорость в каждой точке потока беспорядочно пульсирует около некоторого среднего значения

(рис. 8.4).

Для описания турбулентного потока вместо действительных (мгновенных) значений скорости и давления пользуются осредненными во времени значениями этих величин. Например, составляющая осредненной скорости в направлении оси х1 в некоторой точке потока определяется соотношением

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

177

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.2.Основные элементы теории турбулентного движения

Рис. 8.4

1 t T2

V1 T V1dt, (8.15)

t T2

где V1 – мгновенная скорость, зависящая от времени; Т – период осреднения.

Действительное значение скорости может быть представлено как сумма осредненной и пульсационной величины, т. е.

V1 V1		V1 ; V2 V2 V2 ; V3 V3 V3 .					(8.16)

Период осреднения Т должен выбираться достаточно большим по сравнению с периодом пульсации.

Из равенств (8.16) следует, что осредненные пульсационные скорости должны быть равны нулю. Действительно, подставив под знак интеграла в выражении (8.15) значение V1 из равенства (8.16), получим

t T

t T

t T

t T

1

2

1

2

1

2

1

2

V1

V1

dt

T

T

V1 dt.

V1

V1

dt

V1 dt V1

(8.17)

T

T

T

T

T

T

t

2

t

2

t

2

t

2

Очевидно, что при достаточно большом значении периода осреднения Т повторное осреднение данной величины не должно приводить к ее изменению, т. е.

V1		V1.			(8.18)

Из равенств (8.17) и (8.18) следует, что

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

178

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.2.Основные элементы теории турбулентного движения

T

T1 t T2 V1dt V1 0. (8.19)

t 2

Если осредненные величины оказываются для разных последовательных моментов времени постоянными, то такое турбулентное движение назы-

вают квазистационарным, а отвечающее ему осредненное движение стационарным.

Подставив в уравнения Навье Стокса и в уравнение неразрывности вместо компонентов скорости их выражения через осредненные и пульсационные величины, можно получить систему уравнений осредненного движения (массовую силу полагаем отсутствующей):

V1

V1

V1

P

V

V

V

V1

2

t

x

x

x

V

1 x

2

2

3

1

1

3

1

2

x

V1

x

x

;

V1V2

V1V3

1

2

3

P

V2

V2

V2

V2

2

V1

V2

V3

V2

t

x1

x2

x2

(8.20)

x3

2

x

x

x

V1

V2

2

V2

V1V3 ;

1

3

P

2

V3

V3

V3

V3

V

V

V

V

t

x

x

x

1 x

2

2

3

3

1

3

3

;

2

x V1V3

x

2

V2V3

x

V3

1

3

V

V

V

0.

x

1

x

1

x

3

1

2

3

Эти уравнения получили название уравнений Рейнольдса. По сравнению с уравнениями Навье Стокса каждое из уравнений движения системы

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

179

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.2.Основные элементы теории турбулентного движения

(8.20) включает еще три дополнительных члена. Физическое содержание этих членов становится очевидным при сопоставлении уравнений (8.20) с уравнениями движения в напряжениях.

Чтобы из этих уравнений получить уравнения (8.20), к нормальным и касательным напряжениям, обусловленным обычной вязкостью, следует добавить нормальные и касательные напряжения, возникающие под влиянием пульсации скорости:

V1

2

;

V1

V2

P11 P 2

V1

P12

P21

;

x

x

2

x

V1

V2

1

1

			……………………………………………………………;
			……………………………………………………………;
					2 ; P22 V2 2 ; P33 V3 2 ; P12 V1 V2 ; P13 V1 V3 ;
P23	Величины P11 V1
	V2 V3 носят название турбулентных напряжений.

Совокупность этих величин образует, подобно вязким напряжениям, симметричный тензор турбулентных напряжений:

2

V1 V3

V1 V2

V1

V2 V3

V1 V2

V2 2

(8.21)

V1 V3

V2 V3

V3 2

Таким образом, дополнительные члены в уравнениях (8.20), о которых идет речь, имеют смысл добавочных составляющих нормальных и тангенциальных сил, обусловленных турбулентными напряжениями.

Чтобы систему уравнений (8.20) сделать замкнутой, необходимо дополнить еешестьюуравнениями, связывающимитурбулентныенапряженияскорости.

Для описания касательных турбулентных напряжений можно воспользоваться уравнением, аналогичным по форме уравнению (1.8), выражающему закон Ньютона для напряжения, обусловленного молекулярной вязкостью. Так, например, для плоскопараллельного движения, в котором скорость V1

является функцией одного x2 , можем написать

	P12			A	dV1			.	(8.22)
			V1 V2
					dx2

Величину A , получившую название коэффициента турбулентного обмена, можно рассматривать как коэффициент кажущейся вязкости, обусловленной макроскопическим переносом количества движения конечными

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

180

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.2.Основные элементы теории турбулентного движения

массами жидкости, переходящими из одного слоя в другой под влиянием пульсации скорости.

Полное касательное напряжение трения можно представить как сумму молекулярного и турбулентного напряжения:

P12 12	A	dV1			.	(8.23)
		dx2

В отдалении от обтекаемой твердой поверхности (стенки), где пульсации скорости велики, величина A в уравнении (8.23) во много раз превосходит величину , так что последней можно для этой области потока пренеб-

речь. По мере приближения к стенке пульсации скорости быстро уменьшаются. Уменьшается и величина A , становясь в самой непосредственной близости к стенке ничтожно малой по сравнению с . На самой стенке A = 0 и

касательное напряжение определяется только молекулярной вязкостью и градиентом скорости

	P12	x 0		dV1					(8.24)
			w					.
		2		dx2
							x	0
							2

Наиболее простую физическую модель турбулентного потока, позволяющую установить некоторые общие закономерности, дает гипотеза Прандтля. Согласно этой гипотезе принимается, что в среднем абсолютные значения пульсационных скоростей одинаковы во всех направлениях (т. е. турбулентность рассматривается как изотропная) и что эти величины пропорциональны градиенту скорости по нормали к направлению потока:

l

dV1

.

(8.25)

V1

V2

dx2

Коэффициент пропорциональности l , имеющий размерность длины, получил название длины пути перемешивания. Эта величина представляет собой расстояние, которое успевает пройти некоторый малый объем жидкости, вышедший из данного слоя, до того, как, смешавшись с окружающим его потоком, он теряет свою индивидуальность, и может рассматриваться как турбулентный аналог длины свободного пробега молекул в кинетической теории газов.

Далее Прандтль принимает, что путь перемешивания пропорционален расстоянию рассматриваемой точки потока от стенки, т. е.

l x2 ,

(8.26)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

181

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.2.Основные элементы теории турбулентного движения

где некоторая постоянная величина.

Из равенств (8.22) и (8.25) вытекает следующее выражение для абсолютной величины касательного турбулентного напряжения:

2

l

2

dV1

(8.27)

P12

V1

V2

.

dx2

Сравнивая правые части выражений (8.22) и (8.27), находим

A l 2

dV1

.

(8.28)

dx2

8.3.Турбулентноедвижениежидкости

вгладкойцилиндрическойтрубе

Как и в случае ламинарного потока, изучение турбулентного потока жидкости в трубе сводится к выяснению характера распределения скорости по сечению трубы и к установлению закона сопротивления движению. Воспользуемся уравнением (8.23), приняв в нем приближенно полное напряжение трения величиной постоянной и равной напряжению трения на стенке трубы, т. е.

12 const w .

Тогда уравнение (8.23) перепишется в виде

w	dV1			A	dV1			.	(8.29)
	dx2
					dx2

Как уже отмечалось, вблизи стенки величина A ничтожно мала по сравнению с . Поэтому для пристеночной области потока, часто именуемой

ламинарным подслоем, можно в правой части уравнения (8.29) пренебречь вторым членом и написать (подстрочный индекс при скорости в дальнейшем опускаем; для ламинарного подслоя можно также опустить черточку, означающую осреднение скорости)

w dV . dx2

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

182

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.3.Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе

Отсюда

dV w dx2 .

Интегрируя, получаем

V w x2 C.

При x2 0 V = 0, следовательно, постоянная интегрирования С = 0. Та-

ким образом, находим, что в ламинарном подслое распределение скорости носит линейный характер:

V	w x2 .	(8.30)

Обратимся теперь к турбулентному ядру потока. Для этой области потока можно в уравнении (8.29) пренебречь напряжением, обусловленным молекулярной вязкостью, и, используя равенства (8.28) и (8.26), переписать его в виде

2

2

dV

2

(8.31)

w

x2

,

dx2

или после разделения переменных

w

1

dx2 .

(8.32)

dV

x2

Введем обозначение

w

V .

Эта величина, имеющая размерность

w

кг м

:

кг

м/ с,

с2

м2

м3

получила название динамической скорости.

Интегрирование уравнения (8.32) дает

		V	ln x2 C.	(8.33)
V

Для определения произвольной постоянной С следует в данном случае привлечь пространственное условие, относящееся к границе раздела между турбулентным ядром потока и ламинарным подслоем:

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

183

8. ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.3. Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе

x				,	(8.34)
		2		л
V Vл .

Здесь л толщина ламинарного подслоя; Vл скорость на границе ла-

минарного подслоя.

В свою очередь, для определения л воспользуемся методом анализа

размерностей. Предположим, что толщина ламинарного подслоя зависит только от вязкости и плотности жидкости и от напряжения трения на стенке и что она может быть выражена в виде одночленной степенной функции от этих величин

ë a b cw ,

где некоторая безразмерная постоянная.

Формула размерности, эквивалентная этой зависимости, будет иметь

вид

	M a		M b			M		c
L			3					.
							2
LT			L		LT

Здесь через L, М и Т обозначены соответственно единицы длины, массы и времени.

Приравнивая показатели степени при одинаковых единицах в левой и правой части формулы размерности, получим систему уравнений:

для L

1 a 3b c ;

для М

0 a b c;

для Т

0 a 2c .

Решение этой системы дает

a 1; b 12 ; c 12 .

Таким образом, искомая зависимость принимает вид

	ë		,
		w

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

184

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.3.Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе

или

ë						.	(8.35)
	w		w
					V

Толщину ламинарного подслоя можно также определить из уравнения (8.30) при пространственном условии (8.34); имеем

Vл w л w л V 2 л.

Отсюда

л Vл2 .

V

Сравнивая правые части равенств (8.35) и (8.36), получим

Vл V .

(8.36)

(8.37)

Возвратимся теперь к уравнению (8.33). Используя пространственное условие (8.34), можем записать его для границы ламинарного подслоя в виде

Vл V	ln л C.	(8.38)

Из равенств (8.35), (8.37) и (8.38) определяем произвольную постоянную С:

V

1

1

C Vл

ln л V

ln

ln

.

V

Подставив это выражение в уравнение (8.33), получим

1

V x

1

V

V

ln

2

ln ,

или, переходя от натуральных логарифмов к десятичным,

				2,303		V x				2,303
V					lg							(8.39)
V							2				lg .

Числовые значения постоянных и α были определены Никурадзе на основе тщательных измерений распределения скоростей в круглой трубе, проведенных в широком диапазоне чисел Рейнольдса (от 4·103 до 3,24·106); оказалось: 0,4, 11,5.

Величины и α, как не зависящие от числа Рейнольдса, получили на-

звание универсальных постоянных турбулентного движения. Подставив

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

185

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.3.Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе

значения этих величин в выражение (8.39), получим окончательное уравнение для распределения скоростей в турбулентном ядре потока:

		5,75lg V x2
V				5,5.	(8.40)
V

Это уравнение выражает т. н. универсальный логарифмический закон распределения скоростей. Теорию турбулентного движения, на которой основано полученное уравнение, следует рассматривать как полуэмпирическую, поскольку для определения постоянных и α приходится прибегать к помощи эксперимента.

Полагая в уравнении (8.40) x2 R0 , найдем скорость на оси трубы (Vmax ):

		max 5,75lg V R0
V				5,5 .	(8.41)
	V

На рис. 8.5 представлены некоторые из экспериментальных кривых распределения скоростей по сечению круглой трубы, полученных Никурадзе. Более высоким значениям числа Рейнольдса отвечает более равномерное распределение скорости, или, как говорят, более заполненный профиль скоростей. По этой причине с увеличением числа Рейнольдса уменьшается отношение максимальной скорости к средней скорости, определяемой по расходу. Это отношение изменяется от 1,3 при Re = 5000 до 1,15 при Re = 3·106, тогда как при ламинарном движении в круглой трубе оно равно 2.

Рис. 8.5

Использование уравнений (8.40) и (8.41) требует знания динамической скорости V*. Определение этой величины связано с задачей об определении коэффициента сопротивления трубы при турбулентном движении.

Из соотношения (8.14) следует, что

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

186

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.3.Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе

w V 2			V		2 .
			8	ср
Отсюда	Vср
			2	2		.	(8.42)
	V

Среднюю скорость по сечению можно рассматривать как величину известную, задаваемую по расходу. Две другие величины в соотношении (8.42) являются неизвестными, и для их определения необходимо еще одно уравнение. В качестве такового может служить уравнение связи между величинами

Vmax, Vср V*.

Вычтем из равенства (8.41) равенство (8.40), тогда получим

					x2		x2
V		max V		5,75lg		2,5ln		.	(8.43)
					R
		V					R
					0		0

Отсюда

V Vmax 2,5V ln x2 .

R0

Воспользуемся этим выражением для определения средней скорости по сечению (метод расчета остается таким же, как для случая ламинарного движения):

		Q					1		R0																												5V				R0											x
Vñð									V 2 R0											x2 dx2																					R0						x2 ln								dx2
		S R2																									Vmax R2																									R
																																																					2
							0		0																														0		0												0
																							1					x2								x2							x2
																																								d
																												R								R
										Vmax 5V 1																					ln												R			.
Находим интеграл:																							0				0									0							0
1					x2					x2							x2						1			x2								x2									x2						x2			x2
				R									d				R					ln												R												ln			R			R
1								ln R																	R d																		R							d
0				0							0							0					0					0						0							0	0							0				0
	x2				x2				x2								1						2					x2						1								2						1					1				3
																		x2																		x2
			ln														2						ln											4															1				4				4 .
	R				R				R												R						R											R										0
	0			0					0													0					0												0
Следовательно,
																	Vср					Vmax					3,75V ,
или

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

187

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.3.Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе

V		max Vср			3,75.	(8.44)
		V

Это соотношение хорошо согласуется с опытными данными. Обратимся снова к уравнению (8.41) и запишем его в следующей форме:

V ср

V ср

V

2

R 0V ср

V

max

5 ,5 .

5 ,75

lg

V

V

V

2V ср

Используя равенства (8.42)

и (8.44) и учитывая,

что 2R0Vср / Re , мо-

жем записать

1

5,75

lg Re

5,5 3,75 5,75lg 4

2 2,03lg Re

1,13.

2

2

2

2

Лучшее согласие с опытными данными дает формула Никурадзе, в которой коэффициенты определены эмпирическим путем:

	1	2 lg Re	0,8 .	(8.45)

Эта полуэмпирическая формула выражает универсальный логарифмический закон сопротивления для гладких труб и справедлива для любых чисел Рейнольдса, отвечающих турбулентному движению. Недостаток этой формулы заключается в том, что в ней зависимость от числа Re выражена в неявной форме и поэтому решать ее приходится методом последовательных приближений. Этого недостатка лишена эмпирическая формула Конакова

1		(8.46)
1,8lg Re 1,5 2	,

также справедливая для широкого диапазона чисел Рейнольдса. Приведенные формулы позволяют провести полный расчёт турбулент-

ного движения жидкости в круглой трубе. Сначала по заданному расходу и диаметру трубы определяют среднюю скорость и число Рейнольдса Re Vсрd / . Затем по формуле (8.45) или (8.46) находят коэффициент сопро-

тивления . После этого по формуле (8.11) определяют само сопротивление, т. е. перепад давления на заданном участке трубы, и по формуле (8.14) – напряжение трения на стенке w , а следовательно, и динамическую скорость

V	w	. Наконец, по формуле (8.40) находят распределение скоростей по се-
чению трубы.
		 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие	188

8.ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.3.Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе

Наряду с логарифмическими формулами для коэффициента сопротивления трубы и для распределения скорости при турбулентном движении существуют еще и степенные, однако они менее универсальны. Так, широкое применение получила эмпирическая формула Блазиуса

	0,3164	,	(8.47)
	Re 0,25

пригодная при значениях числа Рейнольдса, не превышающих 1·105. Этой формуле отвечает следующее степенное выражение для распре-

деления скорости по сечению трубы, область применения которого также ограничивается указанным значением числа Рейнольдса:

			V x			1/ 7
V								(8.48)
V			8,57		2		,

где x2 – расстояние от стенки трубы.

Это уравнение известно под названием закона Блазиуса, или закона корня седьмой степени.

Для максимальной скорости на оси трубы x2 R0 можно записать

V R

1/ 7

V

(8.49)

max

8,57

0

.

V

Из равенств (8.48) и (8.49) получаем

1/ 7

V

x2

V

R

.

(8.50)

max

0

8.4. Влияниешероховатостистенкитрубы накоэффициентсопротивления

Все формулы, полученные в предыдущем параграфе, относятся к трубам с гладкой поверхностью. В действительности же поверхность трубы всегда имеет некоторую шероховатость. По форме неровностей, образующихся на поверхности, различают шероховатость зубчатую и волнистую. Однако в качестве объекта экспериментального исследования обычно прибегают к трубам с искусственной, или т. н. «зернистой» шероховатостью, которая создается путем приклеивания к стенке трубы сплошного и равномерного слоя песка с определенной средней величиной зерна.

В качестве обобщенной характеристики шероховатости трубы служит отношение ее абсолютной шероховатости, под которой понимается средняя вы-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

189

8. ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.4. Влияние шероховатости стенки трубы на коэффициент сопротивления

сота бугорков шероховатости и которую обозначают через k, к радиусу трубы R0: k k / R0 . Величину k называют относительной шероховатостью трубы.

Величину абсолютной шероховатости k для труб, изготовленных из различных материалов, см. в таблице (с. 183).

Обширное исследование влияния шероховатости зернистого типа на коэффициент сопротивления круглых труб было выполнено Никурадзе. Результаты его опытов представлены на рис. 8.6 в виде кривых зависимости ко-

эффициента сопротивления от числа Re Vсрd / при различных значениях R0 / k величины, обратной относительной шероховатости.

		Таблица
Трубы		k 103 , мм
Стеклянные		0,2 0,8
Новые тянутые из латуни, свинца, меди		0,2 1,0
Железные новые		20 50
Чугунные новые		100 200
По характеру зависимости от Re график можно разбить на три об-
ласти. Первая область, отвечающая значениям Re		2300 (lgRe 3,3), от-

носится к ламинарному движению, при котором коэффициент сопротивления не зависит от шероховатости трубы и остается таким же, как для гладких труб.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

190

8. ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.4. Влияние шероховатости стенки трубы на коэффициент сопротивления

Рис. 8.6

Здесь выполняется линейный закон сопротивления, выраженный равенством (8.12),

		64	64		,
		Re		V d
				ср

а сопротивление (перепад давления вдоль потока), определяемое формулой (8.11),

l V 2

P ср d 2

оказывается пропорциональным первой степени скорости, т. е.

P ~ Vср.

В пределах второй области также не зависит от шероховатости, а зависимость этой величины от числа Re удовлетворяет формуле Блазиуса для сопротивления гладких труб

0,3164 ,

Re0,25

благодаря чему она в логарифмических координатах изображается в виде прямой. Протяженность этой области оказывается тем большей, чем меньше относительная шероховатость k / R0 . Как видно из приведенных

формул, в этой области P ~ V 1,75 .

В третьей области, относящейся к большим числам Рейнольдса, коэффициент сопротивления перестает зависеть от числа Рейнольдса, а определяется лишь значением относительной шероховатости. С ростом последней увеличивается; при этом начало указанной области сдвигается в сторону меньших значений числа Рейнольдса.

Поскольку в рассматриваемой области для каждого значения относительной шероховатости коэффициент сопротивления представляет величину постоянную, то сопротивление трубы должно быть, в соответствии с

формулой (8.11), пропорционально квадрату скорости: P Vср2 . Поэтому

область, о которой здесь идет речь, часто называют областью квадратичного сопротивления.

Между второй и третьей областью лежит промежуточная область, в которой зависит как от относительной шероховатости, так и от числа Рейнольдса, а сопротивление трубы пропорционально скорости в степени m:

P Vсрm , где m лежит в пределах 1,75 < m < 2,0.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

191

8. ВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

8.4. Влияние шероховатости стенки трубы на коэффициент сопротивления

Перечисленные особенности для зависимости от числа Рейнольдса при турбулентном режиме движения жидкости можно объяснить, сопоставляя среднюю высоту бугорков шероховатости k с толщиной ламинарного подслоя л.

При k << л, что имеет место при сравнительно малых числах Рейнольдса, бугорки шероховатости полностью покрыты ламинарным подслоем и их обтекание не сопровождается вихреобразованием (рис. 8.7, а). Следовательно, в этом случае шероховатость не влияет на коэффициент сопротивления, и труба ведет себя в гидродинамическом отношении как гладкая, подчиняясь закону сопротивления Блазиуса (вторая область на графике Никурадзе).

а

б

Рис. 8.7

Толщина ламинарного подслоя уменьшается с увеличением числа Рейнольдса, и при достаточно больших значениях последнего оказывается, что k л . В этом случае бугорки шероховатости практически целиком выходят

в турбулентное ядро потока и их обтекание, как тел плохо обтекаемой формы, происходит с образованием вихрей (рис. 8.7, б). При таком характере обтекания вязкие силы мало существенны по сравнению с силами инерционными и коэффициент сопротивления перестает зависеть от числа Рейнольдса, что и объясняет наличие третьей области на графике Никурадзе.

Как указывалось, в этой области зависит только от относительной шероховатости. Чтобы подчеркнуть это, режим обтекания шероховатости, отвечающий этой области, ранее названной областью квадратичного сопротивления,

именуютрежимомразвитойшероховатости.

Закон сопротивления для указанного режима выражается следующей формулой:

				1			.	(8.51)
		2lg	R		1,74	2
			0
			k

Область, занимающая на графике Никурадзе промежуточное положение между второй и третьей областью, отвечает случаю, когда k и л оказы-

ваются величинами одного и того же порядка.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

192

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

ИПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.1.Понятиеопограничномслое

Ранее отмечалось, что при очень больших значениях числа Рейнольдса, свидетельствующих о большом преобладании инерционных сил над силами вязкости, можно последними пренебречь и рассматривать движущуюся жидкость при таких Re как идеальную. Однако такое приближение не может быть распространено на ту область течения жидкости, которая непосредственно примыкает к поверхности твердого тела и на которой сказывается тормозящее влияние поверхности. В этой, вообще говоря, узкой области имеет место резкое изменение скорости по нормали к поверхности от нулевого значения, которое она имеет на самой поверхности, до значения, сравнимого с тем, которое устанавливается вдали от поверхности. Этот тонкий слой жидкости получил название пограничного слоя. В этом слое пренебрегать силами вязкости нельзя. Наоборот, благодаря большим градиентам скорости они приобретают здесь решающее значение. Но сведение сферы влияния этих сил к узкой области пограничного слоя позволяет внести значительные упрощения в уравнения движения вязкой жидкости и делает возможным их интегрирование.

Явления, происходящие в пограничном слое, играют существенную роль как в определении величины гидродинамического сопротивления, так и в определении интенсивности процессов тепло- и массообмена между твердым телом и обтекающей его жидкостью .

Движение жидкости в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным.

Более строго интенсивность этих двух процессов следует поставить в связь с существованием теплового и диффузионного пограничного слоя.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

193

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.2.Уравненияламинарногопограничногослоя

Для более легкого восприятия рассмотрим двухмерное обтекание плоской поверхности тела несжимаемой жидкостью. Направим ось x1 вдоль по-

верхности по направлению потока, а ось x2 – перпендикулярно к поверхно-

сти (рис. 9.1). Будем полагать поток стационарным и массовые силы отсутствующими. Тогда уравнения Навье Стокса и уравнение неразрывности принимают вид

V1

V1

1 P

2V1

2V1

V1 x

V2 x

x

x2

x2

2

;

1

1

1

2

1 P

2

2

V2

V2

V2

V2

x

V1 x

V2 x

2

2

x2

x2

;

1

1

2

(9.1)

V

V

0.

1

2

x1

x2

Обозначим скорость за пределами пограничного слоя (иными словами, скорость набегающего потока) через U. Поскольку вне пограничного слоя жидкость рассматривается как идеальная, движение частиц которой происходит без деформации и, следовательно, не сопровождается вращением, то в указанной области поток можно считать потенциальным.

Рис. 9.1

Преобразуем систему уравнений (9.1) к безразмерному виду, воспользовавшись для этой цели в качестве характерных величин протяженностью

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

194

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.2.Уравнения ламинарного пограничного слоя

поверхности тела в направлении обтекания l и скоростью набегающего потенциального потока U ; в качестве масштаба преобразования давления вы-

берем удвоенный динамический напор потока U 2 . Тогда будем иметь

x lx ;		x		lx
			2		; V UV		; V	2	UV			;	P U 2 P.
1	1			2	1	1			2

Подставив соответствующие величины в первое из уравнений системы (9.1), получим

2

2

2

2

U

V1

V2

U

P

U

V1

V1

l

l

x

V1

x

V2 x

2

l2

x 2

x2

,

1

1

1

2

или после деления обеих частей уравнения на U 2l

2

2

V

V1

V

V1

P

V1

V1

.

x

1 x

2 x

Ul

x2

x2

1

2

1

1

2

Если придать аналогичный вид второй компоненте системы (9.1), преобразовать к безразмерной форме уравнение неразрывности и при этом учесть, что Ul / Re – число Рейнольдса, определенное по скорости набегающего потока, получим

																															2							2
																				1 P							1
		V1										V2																	V1								V1
V1
																				x
		x				V2 x									2												Re				x2							x2				;
		1																		1											1							2
																															2							2
																				1 P							1
		V2										V2																			V2							V2
V1
																				x
		x				V2 x										2								2				Re			x2							x2				;	(9.2)
		1																													1							2
	V					V						0.
		1				2
	x1					x2

Такая форма записи уравнений движения удобна для анализа порядка величины отдельных членов, входящих в эти уравнения, и для выявления тех упрощений, которые могут быть сделаны при применении этих уравнений к пограничному слою.

Обозначим толщину пограничного слоя через δ и будем понимать под этой величиной то расстояние от поверхности, на котором скорость стано-

вится близка к скорости основного (набегающего) потока .

Вообще говоря, толщина пограничного слоя является величиной условной, поскольку скорость V1 по мере удаления от поверхности приближается к значению U асим-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

195

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.2.Уравнения ламинарного пограничного слоя

Прежде чем приступить к анализу уравнений (9.2), отметим, что безразмерная координата x1 изменяется в пределах от нуля до единицы (при

x1 l ). Безразмерной координатой x2 приходится в данной задаче оперировать только в пределах пограничного слоя, где ее значение изменяется в интервале от нуля до , здесь l безразмерная толщина пограничного слоя.

Безразмерная компонента скорости V1 изменяется в пределах от нуля до единицы (при V1 U , т. е. на внешней границе пограничного слоя).

Обратимся теперь к уравнению неразрывности

V1 V2 0.x1 x2

Определяя порядок производной V1 / x1 как отношение предельных изменений величин V1 и x1 , находим, что он равен единице. Из рассматриваемого уравнения следует, что производная V2 / x2 также имеет порядок, равный единице, а т. к. предельное значение безразмерной координаты x2 равно , то и предельный порядок величины V2 будет таким же.

Запишем теперь под членами первых двух уравнений системы (9.2) их порядки и при сопоставлении отдельных членов этих уравнений друг с другом будем считать 1. Производную P / x1 , поскольку она не связана с

, следует рассматривать как величину конечную, и ее порядок можно положить равным единице. Относительно порядка производной P / x2 нельзя

сделать никаких предварительных предположений. Таким образом, можем записать

																															2								2
					V1										V1									P					1		V1							V1
V1 x										V2 x														x							x 2							x					2			;
																			2										Re
1																								1							1												2
																															2								2
					V2										V2									P					1		V2									V2
																								x
V1 x										V2 x										2						2			Re		x 2							x					2			.
1																															1								2
1																																											2

Очевидно, что в правой части первого уравнения можно пренебречь величиной 2V1 / x12 по сравнению с 2V1 / x22 величиной, порядок которой

много больше единицы. Из этого уравнения следует, что величина 1 2V1

Re x22

должна иметь порядок, равный единице, т. е. такой же, как и все остальные члены этого уравнения:

птотически. Обычно принято определять как расстояние от поверхности, на котором

V1 = (0,98 0,99) U.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

196

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.2.Уравнения ламинарного пограничного слоя

1

2V

x

~ 1.

Re x2

2

1

Отсюда вытекает, что порядок величины 1/ Re равен

2 , а

~

или,

Re

учитывая, что

/ l ,

~

l

.

(9.3)

Re

Поскольку в основе теории пограничного слоя лежит предположение о том, что число Рейнольдса, характеризующее поток, велико, то из соотношения (9.3) становится очевидным, что толщина пограничного слоя представляет ничтожно малую величину по сравнению с размерами обтекаемого тела. Как будет видно из дальнейшего, порядок зависимости от числа Re , выраженный соотношением (9.3), подтверждается точным расчетом.

Обратимся теперь ко второму уравнению. Порядок членов, содержащихся в левой части этого уравнения, равен , слагаемые, стоящие в скоб-

ках, после умножения на Re1 приобретают соответственно порядки 3 и ,

поэтому производная dP / dx2 также должна иметь порядок . Следователь-

но, рассматриваемое уравнение можно полностью отбросить и, в частности, пренебречь изменением давления в пограничном слое в направлении, нормальном к поверхности, считая, что dP / dx2 .

Это означает, что в принятом приближении давление в пограничном слое остается таким же, как вне пограничного слоя, и является функцией только координаты х. Поэтому в первом уравнении системы (9.2) можно вместо частной производной dP / dx1 записать полную производную dP / dx1 .

Таким образом, из системы уравнений (9.2) второе уравнение можно целиком исключить, а в первом сделать указанные упрощения. Возвращая оставшимся уравнениям размерную форму, получим

		V			V		1 P			2V
V			1	V	1					1	;
							x1
	1 x1			2 x1						x22
	V			V	0.						(9.4)
	x1			x2
		1		2

Уравнения (9.4) называются уравнениями Прандтля для пограничного слоя. Будучи получены из уравнения Навье Стокса, в котором пульсацион-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

197

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.2.Уравнения ламинарного пограничного слоя

ные скорости в явной форме не представлены, они пригодны лишь для описания движения в ламинарном пограничном слое.

Применим к внешней границе пограничного слоя уравнение Бернулли Эйлера для потенциального потока (5.63), в котором для данного случая геометрический напор z рассматривается как величина постоянная:

U2 2 P const .

Дифференцируя это уравнение по x1, находим, что

1 dP U dU .dx1 dx1

Подставляя это выражение в уравнение Прандтля, получим систему уравнений ламинарного пограничного слоя в более удобной форме:

						V1 U dU			2
V V1 V									V1	;
	1 x1				2 x2		dx1		x22
										(9.5)
	V		V
	1		x	2		0 .
	x
	1			2

Эти уравнения, полученные для случая обтекания плоской поверхности, пригодны и для искривленных поверхностей, если радиус кривизны намного превосходит толщину пограничного слоя .

Граничные условия для этих уравнений имеют вид

			V2	0	при x2 0 ;
	V1
							(9.6)
	V U			при	x	.
		1				2

Наиболее простой, но приближенный метод решения системы уравнений (9.5) основан на сведении этой системы к т. н. уравнению импульсов Кармана. Преобразуем инерционные члены, входящие в первое уравнение системы (9.6), следующим образом:

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

198

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.2.Уравнения ламинарного пограничного слоя

V		V					V	2			V		V		;	V	V				V V			V	V		;
			1				1							1				1				1 2				2
							x
	1 x											1 x					2 x				x		2	1 x		2
			1			1								1				1
Тогда можем записать
		2																				dU			2
	V1					V1V2								V1			V2			U					V1		,
																						dx
		x					x	2				V1		x			x	2							x2
		1													1								1		2

или, используя уравнение неразрывности,

V12

V1V2 U dU

2V21 ,

(9.7)

x

x

dx

x

2

1

2

1

Далее запишем уравнение неразрывности в форме

U

V1

U

V2

UV1 V

U

UV2 V

U 0,

x

x

2

x

1 x

x

2

2 x

2

1

1

1

где член V

U равен нулю, a V

U

V

dU ,

поскольку скорость набе-

2 x

2

1

x

1 x

1

1

гающего потока U от координаты x2

не зависит, и вычтем из этого уравне-

ния выражение (9.7). Тогда будем иметь

V U

V

V U

V

U

U V 2V1 .

(9.8)

x

x

1

1

2

1

x

1

x2

1

2

1

2

Проинтегрировав это уравнение по x2 в пределах от нуля до толщины пограничного слоя , получим

		V1 U V1 dx2				dU				V
			V2 U V1				U V1	dx2						(9.9)
						dx				x	1		0 .
	x				0
											2
0	1					1	0

При интегрировании следует учесть, что является величиной переменной, зависящей от координаты x1.

Первый интеграл представляет одно из слагаемых производной, взятой по координате x1 от интеграла с переменным верхним пределом:

d

x1

U V1

dx2

x1

V1 U V1 dx2

V1 U V1

d

V1

0

.

dx

x

dx

1

0

0

1

1

Следовательно,

			V1 U V1 dx2	d		U V1	dx2 V1 U V1				d
					V1
										0		.
		x		dx							dx
	0	1	1		0						1

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

199

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.2.Уравнения ламинарного пограничного слоя

При интегрировании уравнения (9.9) используем граничные условия (9.6), присоединив к ним некоторые дополнительные условия:

ïðè

x

2

0 V

V , V1

V1

,

1

2

x2

x2

w

(9.10)

V1 0.

ïðè

x2

V1

U ,

x

2

Находим значения отдельных составляющих уравнения (9.9):

V

U V

0; V2 U V1

0; V1

V1

w .

1

1

0

0

x2

0

x2

x 0

2

После подстановки всех последних равенств уравнение приобретет вид

d			dU			w
	V1	U V1	dx2 dx	U V1	dx2		,
dx
1	0		1	0

или

d		V			V				dU				V					w
	U 2	1	1		1	dx		U			1		1	dx					.
dx									dx
		U			U		2						U		2
1		0							1	0

Введем следующие обозначения:

				V
										;
1					1	dx2
0				U
V					V						.
	1	1				1	dx
0 U					U			2

(9.11)

(9.12)

(9.13)

Первый из этих интегралов получил название толщины вытеснения, а второй – толщины потери импульса. Подставив эти величины в уравнение (9.11), придадим ему вид

d	U 2 ** U dU		w	,
dx
	dx
1	1

или после дифференцирования первого слагаемого

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

200

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.2.Уравнения ламинарного пограничного слоя

	d		1 dU		2	w	.	(9.14)
	dx		U dx			U 2
	1		1

Полученное уравнение и есть уравнение импульсов Кармана, являющееся основным интегральным соотношением для ламинарного пограничного слоя.

Рассмотрим физический смысл величин и . Перепишем равенство (9.12) в следующей форме:

U U V1 dx2 .

0

Содержание интеграла можно представить себе как связанную с уменьшением скорости потерю объемного расхода жидкости через сечение в пограничном слое, отнесенное к ширине поверхности, равной единице. Графически этот интеграл определяется площадью, которая ограничивается кривой распределения скоростей, абсциссой V1 U и асимптотой (рис. 9.2).

Рис. 9.2

Левая часть последнего равенства показывает, что такая же потеря расхода имела бы место в том случае, если бы жидкость в пограничном слое вела себя как идеальная и ее скорость в этой области была бы всюду равна скорости основного потенциального потока U , но поток оказался бы смещенным от поверхности на расстояние . Величина может быть определена из условия равновеликости заштрихованных площадей.

Аналогичный смысл имеет и величина . Ее можно понимать как некоторую эквивалентную толщину, отвечающую уменьшению потока импульса (количества движения), обусловленному вязкостью.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

201

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.3.Ламинарныйпограничныйслойприобтеканиитонкой плоскойпластинкивпродольномнаправлении

Расположим начало координат на передней кромке пластинки и направим ось x1 вдоль пластинки параллельно направлению набегающего потока, а

ось x2 нормально к поверхности пластинки (рис. 9.3). Длину пластинки

примем равной l . Жидкость будем считать несжимаемой, а поток стационарным. Так как в рассматриваемом случае скорость потенциального потока U постоянна вдоль всей пластинки, то dU / dx1 0 (а в соответствии с интегра-

лом Бернулли Эйлера и dP / dx1 0) и система уравнений пограничного слоя (9.5) упрощается, принимая вид

		V			V
V				1
	1		x			2
				1
	V				V
	x		1		x	2
						2
		1

V1 2V1 ,x2 x22

(9.15)

0.

Упрощается также и уравнение импульсов (9.14), которое запишется в виде

d		w
dx			.	(9.16)
		U 2
1

Рис. 9.3

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

202

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.3.Ламинарный пограничный слой при обтекании тонкой плоской пластинки в продольном направлении

Это уравнение решается при следующих граничных и дополнительных условиях :

при x	0	V 0,	2V	*
			1	0 ;
2		1	2
			x2			(9.17)
при x V U , V1
				0.
2		1	x2

Если распределение скорости в пограничном слое выразить при помощи полинома, то в соответствии с числом граничных и дополнительных условий, привлекаемых к решению рассматриваемой задачи, этот полином должен насчитывать четыре члена, т. е.

V1 a0

a1 x2

a2 x22

a3 x32 .

(9.18)

Применяя к написанному полиному поочередно условия (9.17), получим

a0 0, a2 0 ; a1 a3 3 U;

a1 3a3 2 0.

Из последних двух уравнений находим

a1 32 U , a3 12 U3 .

Подставив найденные значения коэффициентов в выражение (9.18), получим уравнение распределения скоростей в пограничном слое

		3 x		2		1	x		2	3		(9.19)
V U											.
1		2				2

Используя это уравнение для интегралов в равенствах (9.12) и (9.13), получаем значения и :

												V												3 x				2		1		x			2		3					3
								1					1	dx			2				1																dx		2				;
																								2						2												8
												U
							0													0
		V				V										3 x						1	x					3					3 x					1	x				3					39
																			2						2											2					2
		1	1			1	dx																						1																dx				.
																2						2											2					2										280
	U					U			2																																					2
	0												0

* Это дополнительное условие непосредственно вытекает из уравнения (9.15), если учесть, что при x2 0 не только V1 0 , но и V2 0 .

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

203

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.3.Ламинарный пограничный слой при обтекании тонкой плоской пластинки в продольном направлении

Находим также напряжение трения на поверхности пластины w , при-

чем значение градиента скорости определяем, дифференцируя уравнение (9.19) по x2 . Имеем

	V1			3		U		(9.20)
							.
w	x2			2
		x 0
		2

Подставляя полученные значения и w в уравнение импульсов (9.16), получаем следующее дифференциальное уравнение:

	39 d				3		,
	280 dx				2	U
	1

или

d	140		dx1.	(9.21)
	13 U

Интегрирование этого уравнения дает

	280 x1	C.
	13 U

Постоянная интегрирования С должна быть равна нулю, поскольку при

x1 0 0 .

Следовательно,

4,64	x1	.	(9.22)
	U

Из этого уравнения видно, что толщина ламинарного пограничного слоя растет по мере удаления рассматриваемой точки от передней кромки пластинки по параболическому закону.

Умножив и разделив правую часть уравнения на x1 , можно придать ему более удобную форму

4,64	x1	,	(9.23)
	Re1
где Re1 Ux1 / – значение числа Рейнольдса,			отвечающее данному

расстоянию x1 от передней кромки пластинки. Это равенство подтверждает

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

204

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.3.Ламинарный пограничный слой при обтекании тонкой плоской пластинки в продольном направлении

общую зависимость (9.3), полученную непосредственно из анализа безразмерной формы уравнения Навье Стокса. Подставляя выражение (9.22) дляв равенство (9.20), находим значение напряжения трения на поверхности пластинки как функцию x1:

w	3		U			3		U	0,324	U 3
										.	(9.24)
	2				2	4,64		x
										x1
							1
								U

При более точном решении уравнений (9.5) пограничного слоя вместо (9.24) получают

w 0,332	U 3	.	(9.25)
	x1

Если пластинка обтекается потоком с обеих сторон, то при длине l и ширине, равной единице, полное сопротивление трения ее будет

	F 2 l		wdx1.
	0
Подстановка выражения (9.25) дает
F 2 0,332	U 3 l	dx1		1,328	U 3l .	(9.26)
		x
	0		1

Часто вместо силы сопротивления оперируют коэффициентом сопротивления, определяемым как безразмерное отношение силы сопротивления F к динамическому напору потока U 2 / 2 и к смоченной поверхности S (в

данном случае S 2l 1):

C

f

F

1,328 U 3l

1,328

,

U 2

U 2l

Ul

S

2

или

C f

1,328

,

(9.27)

Re

где Re Ul / – число Рейнольдса, определенное по длине пластинки.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

205

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.4.Начальныйучастоквцилиндрическойтрубе приламинарномрежимедвиженияжидкости

Если жидкость поступает в трубу из резервуара большой емкости, то во входном сечении трубы распределение скоростей будет почти равномерным. По мере удаления от входного сечения происходит разрастание ламинарного пограничного слоя. Так как расход жидкости должен быть во всех сечениях трубы одинаков, то торможение жидкости, имеющее место в пограничном слое, должно компенсироваться увеличением скорости в ядре потока. Благодаря этому кривые распределения скоростей приобретают вид, показанный на рис. 9.4.

Рис. 9.4

Участок трубы, в конце которого по всему сечению устанавливается параболическое распределение скоростей, характерное для ламинарного режима движения, получил название начального участка.

Полагая, что общие закономерности, которым подчиняется формирование ламинарного пограничного слоя в трубе, остаются такими же, как для плоской пластинки, можем в соответствии с уравнением (9.22) записать

~	x	, или x1	~	2V	.
	1
	V

Обозначая длину начального участка через L и считая, что при x1 = LR0 , получим

L ~ R0V R0 Re(R0 ) .

Таким образом, длина входного участка является функцией числа Рейнольдса. По Шиллеру,

	L	0,029	Vñðd		0,029 Re .
	d
 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие					206

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5.Тепловойламинарныйпограничныйслойнаплоской пластинке, обтекаемойвпродольномнаправлении

Если поверхность тела обтекается потоком жидкости с температурой, отличающейся от температуры самого тела, то у поверхности тела образуется тепловой дограничный слой, в котором сосредоточивается разность этих температур. В пределах этого слоя, сходного с гидродинамическим пограничным слоем, наряду с конвекцией тепла существенное значение имеет перенос тепла молекулярной теплопроводностью. Роль этой формы переноса тепла возрастает по мере приближения от внешней границы теплового пограничного слоя к поверхности тела, где она становится единственно возможной. За пределами теплового пограничного слоя процесс молекулярной теплопроводности играет ничтожную роль по сравнению с конвекцией тепла.

Тепловой пограничный слой, как и его гидродинамический аналог, может быть и ламинарным, и турбулентным. Здесь мы рассмотрим ламинарный тепловой пограничный слой, который образуется на плоской пластинке при продольном обтекании ее стационарным двухмерным потоком несжимаемой жидкости.

Система уравнений, описывающих процесс конвективной теплопроводности, для данного случая упрощается. Для уравнения Навье Стокса, входящего в состав этой системы, упрощения уже были сделаны применительно к гидродинамическому пограничному слою. Подобным же образом может быть упрощено и собственно уравнение конвективной теплопроводности. Перепишем это уравнение в координатной форме

	T		T			2		2
						T		T
V1 x		V1 x				x2		x2		(9.28)
				2	a
1						1		2

и преобразуем его к безразмерному виду.

Для этой цели воспользуемся в качестве множителей преобразования протяженностью пластинки в направлении обтекания l , скоростью набегающего потока U и его температурой Tср (температура среды); получим

x1 lx1, x2 lx2 , V1 UV1, V2 UV2 , T TсрT ,

следовательно,

UT

aT

2

2

ср

V

T

V

T

ср

T

T

,

l

1

2

x2

l2

x2

x2

x1

1

2

или после деления на множитель при левой части уравнения

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

207

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5.Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении

2

2

T

T

a

T

T

V1 x

V2 x

x2

x2

Ul

,

1

2

1

2

или, наконец,

													2			2
		T					T				1		T			T
V1 x				V2 x									x2			x2			(9.29)
											Pe							,
1				2									1			2
где Pe Ul / a – критерий Пекле.																			и сохраним
Обозначим толщину теплового пограничного слоя через T

за толщиной гидродинамического пограничного слоя его прежнее обозначение . Безразмерная толщина теплового пограничного слоя будет T = T / l .

Оценим порядок величины отдельных членов, входящих в уравнение (9.29). При этом будем иметь в виду, что, как уже было установлено, порядок

величины V2 равен , а предельное значение координаты y имеет для теплового пограничного слоя порядок T . Величины x1 и V1 , как было показано

ранее, изменяются в пределах от нуля до единицы; предельное изменение температуры в тепловом пограничном слое является величиной конечной, и его порядок также можно положить равным единице.

Подпишем под каждым членом уравнения (9.29) порядок величины его сомножителей:

																	2			2
		T							T						1		T			T
V1 x				V2 x													x2			x2
															Pe											.
1									2								1			2
	1 1								1								1			1
											T										T 2

Поскольку T 1, то очевидно, что в правой части этого уравнения можно пренебречь производной 2T / x12 по сравнению с 2T / x22 . Далее, по-

скольку порядок обеих частей уравнения должен быть одинаковым, можно утверждать, что величина 1/Ре должна иметь порядок, равный 2 , т. е.

Pe1 ~ Ò2 .

Отсюда находим

T ~ 1Pe , или T ~ Pel ,

что равносильно

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

208

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5.Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении

T ~	l	,	(9.30)
	Re Pr

где Pr / a критерий Прандтля.

Как будет показано в дальнейшем, найденный здесь характер зависи-

мости T от числа Рейнольдса подтверждается расчетом, тогда как зависимость этой величины от числа Прандтля оказывается несколько иной.

Перепишем уравнение (9.29), возвращая ему размерную форму и исключая опущенную производную, стоящую в скобках, получим

V	T	V	T		a	2T .
			x
1 x		2		2		x2
	1					2

В таком виде это уравнение должно быть включено в систему уравнений конвективного переноса тепла. Уравнение движения жидкости должно быть в этой системе также представлено в упрощенной форме, а именно в форме (9.15), найденной для пограничного слоя на плоской пластинке.

Таким образом, для ламинарного теплового пограничного слоя будем иметь следующую систему уравнений:

V

T

V

T

a

2T

;

x

x2

1 x

2

2

1

2

V

V

2V

V2

;

V

1

x

1

1

1

x

2

x2

(9.31)

1

2

V2

V1

0

x

x

2

1

при граничных условиях:

0, V1 V2 0, T Tп;

x2

,

V1 U;

x2

(9.32)

,

T T .

x

2

T

ср

Здесь Tп температура поверхности пластинки.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

209

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5.Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении

Из сопоставления граничных условий для V1 и Т следует, что решение системы уравнений (9.31) возможно лишь для случаев, когда T .

Будем решать эту систему приближенным методом, сведя уравнение конвективной теплопроводности к интегральному соотношению, схожему по своему виду с уравнением импульсов Кармана.

Для этой цели преобразуем указанное уравнение к виду

T

T

V1T

V2T

V1

V2

V1T

V2T

2

T

V1 x

V2 x

a

x2 .

2

x

x

2

T

x

x

2

x

x

2

1

1

1

1

2

В силу уравнения неразрывности член этого уравнения, который содержит в качестве сомножителя сумму производных, стоящую в скобках, равен нулю.

Далее запишем уравнение неразрывности в форме

V1Тср V2Тср 0

x1 x2

и вычтем из него предыдущее уравнение, тогда получим

	V T T			V	T T a	2T .
x		x
	1 ср		2	1 ср		x2
1						2

Будем отсчитывать температуру от температуры поверхности и введем следующие обозначения: Т Тп ; Тср Тп ср . Теперь последнее уравнение

запишется в виде

	V						V			a	2	,	(9.33)
x					x						x2
	1		ср			2			ср
1						2					2

а граничные и дополнительные условия к нему приобретут вид, аналогичный тем, которые привлекались к решению задачи о гидродинамическом пограничном слое, т. е.

	x		0	V	V	0,		0,		2		0*;
при		2									2
				1	2
										x2
												(9.34)
при	x2		T	ср,					0.
							x2

* Это дополнительное условие непосредственно вытекает из первого уравнения системы (9.31) при применении к нему рассматриваемого граничного условия.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

210

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5.Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении

Интегрируя уравнение (9.33) по x2 в пределах от нуля до T , получаем

T

V1 ср dx2

V2 ср

a

0T

0T .

(9.35)

x

x

2

0

1

Интеграл, записанный в левой части этого уравнения, подобен тому, который встречался при выводе уравнения импульсов, и может быть представлен в виде

T

V1 ср dx2

d

T

d

T

V1 ср dx2 V1 ср

dxT

0 .

x

dx

0

1

1

0

1

Используя граничные условия (9.34), находим

V

Т

0;

2

ср

0

V

Т

0;

1

ср

0

T

a x

2

0

a

x

.

2

x2 0

Подстановка полученных равенств в уравнение (9.35) дает

d

T

dx

V1 ср dx2 a x

2

.

1

0

x 0

2

Разделив обе части этого уравнения на U ср и имея при этом в виду,

что для случая обтекания плоской пластинки скорость потенциального потока U есть величина постоянная, получим интегральное соотношение для теплового пограничного слоя, аналогичное уравнению импульсов Кармана,

d

T

V1

a

(9.36)

dx

U

1

dx2

x2

.

0

ср

U ср

x2 0

Полином, при помощи которого может быть выражено распределение температуры в тепловом пограничном слое, должен в соответствии с числом привлекаемыхграничныхидополнительныхусловийсостоятьизчетырехчленов:

b0 b1x2 b2 x22	b3 x23.	(9.37)
 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие		211

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5.Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении

Всилу тождественности вида этого полинома и граничных условий (9.34) с таковыми для скорости в гидродинамическом пограничном слое (уравнения (9.18) и (9.17)) должны быть тождественны по форме и выражения для температурного и скоростного поля в соответствующих пограничных слоях. Поэтому можно, опуская детальные вычисления, по аналогии с уравнением (9.19) записать

		3	x2			1		x2		3
	cр										.	(9.38)
		2				2
				T					T

Используя выражения (9.19) и (9.38), вычислим интеграл, входящий в уравнение (9.36); получим

T V								T		3 x		2		1		x			2	3						3	x	2		1		x	2	3
1	1				dx																	1													dx
										2				2												2				2
U						2																														2
0				ср				0																				T					T
													3				2			3				4
																									,
													20							280

где T / .

Поскольку было принято, что T и, следовательно, T / 1, то вто-

рым членом в скобках можно пренебречь.

Далее, дифференцируя выражение (9.38), находим значение производной, стоящей в правой части уравнения (9.36):

					3 ср
							.	(9.39)
	x2				2 T
		x	0
		2

Если вычисленные значения интеграла и производной подставить в уравнение (9.36), то получим

3				d			2			3 a						3		a
										2						2			,
		20		dx							U							U
					1								T
или
	1 U				3			d		2			2 d						(9.40)
									2								1.
	10	a						dx						dx
							1							1

Вслучае когда тепловой пограничный слой зарождается одновременно

сгидродинамическим у передней кромки пластинки, отношение их толщин

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

212

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5.Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении

T / не должно зависеть от x1, т. е. d / dx1 0. Если, кроме того, учесть, что в соответствии с равенством (9.21)

d 140 , dx1 13 U

то уравнение (9.40) приобретет вид

	14	3
	13 a 1.
Принимая 14/13 1 и с учетом, что / a Pr , получаем 3				1/ Pr , или
	T	1	.	(9.41)
		3 Pr

Это равенство уточняет оценку порядка зависимости величины T от

критерия Прандтля, данную в выражении (9.30).

Подставляя в равенство (9.41) значение из выражения (9.23), получим формулу для толщины ламинарного теплового пограничного слоя

	T	4,64	x1		.	(9.42)
			Re 3	Pr

Так как эта формула получена в предположении, что Т / 1, то она

применима лишь для случаев, когда Pr 1, т. е. для газов и неметаллических жидкостей.

Зная T , можно определить значение местного коэффициента теплоотдачи 1. Примем для определенности, что Tп Tср . Имеем

				T
						,
1 Tп Tср				x2
					x2 0
или
					,
1 ср		x2
				x 0
				2
или, наконец, учитывая равенство (9.39),
1 3						(9.43)
2 T .
 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие						213

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5.Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении

Отсюда видно, что местный коэффициент теплоотдачи обратно пропорционален толщине теплового пограничного слоя. Подставляя в (9.43) значение T из уравнения (9.42), получим

1 0,324		Re1	3 Pr .
	x1

Как и для формулы (9.25), более точный расчет несколько исправляет численный множитель в формуле (9.44), давая

1 0,332		Re1	3 Pr .	(9.44)
	x1

Обычно вместо 1 пользуются более удобным для расчетов средним по

длине пластинки значением коэффициента теплоотдачи, за которым сохраним обозначение и который определяется как

1 l 1dx1, l 0

или, учитывая равенство (9.44),

	U		l	dx		Ul
0,332 l		3	Pr	1	0,664 l		3	Pr 0,664 l	Re 3 Pr.
				x
			0	1

Этому уравнению можно придать безразмерную форму:

l	Nu 0,664 Re3	Pr.	(9.45)

Определив из этого уравнения число Нуссельта, можно найти количество тепла, отдаваемого жидкости одной стороной пластинки шириною, равной b , в единицу времени:

Q lb T T		l b T T		Nub T T	, Дж/с .	(9.46)
п ср			п ср	п ср

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

214

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.6.Диффузионныйламинарныйпограничный слойнаплоскойпластинке

Аналогично гидродинамическому и тепловому пограничному слою у поверхности обтекаемого тела образуется диффузионный пограничный слой, в котором концентрация растворенного вещества изменяется от значения, которое эта величина имеет в потоке, до значения у поверхности обтекаемого тела.

Поскольку уравнения конвективного переноса растворенного вещества и тепла по форме тождественны и одинаков также характер граничных условий, задаваемых для задач, которые решаются на основе теории пограничного слоя, то все решения для диффузионного пограничного слоя могут быть получены из аналогичных выражений для теплового пограничного слоя путем замены в них температуры на концентрацию. Поэтому ограничимся записью только некоторых конечных формул.

Обозначив толщину диффузионного пограничного слоя через Ä , можем аналогично равенствам (9.41) и (9.42) записать

	Д			1		,		(9.47)
				PrД
Д 4,64					x1		,	(9.48)
				Re3 PrД

где PrД / D диффузионный критерий Прандтля.

Так как PrД представляет величину либо близкую к единице (для газов),

либо много большую единицы (для жидкой среды), то в отличие от аналогичных равенств для теплового пограничного слоя уравнения (9.47) и (9.48) пригодны для любой среды.

Для местного значения коэффициента массообмена будем иметь уравнение, сходное с (9.44),

Д 0,332 D Re 3 PrД , (9.49)

1x1

адля среднего безразмерного значения этой величины, т. е. для диффузионного числа Нуссельта, можем по аналогии с уравнением (9.45) записать

	Дl	NuД 0,664 Re3	PrД .	(9.50)
	D

Определив NuД , можно вычислить количество вещества, отдаваемого одной стороной пластинки потоку в единицу времени, кг/с,

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

215

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.6. Диффузионный ламинарный пограничный слой на плоской пластинке

J	Д	lb C	C	Дl	bD C	C	Nu	Д	bD C	C ,	(9.51)
		п	ср	D	п	ср			п	ср
где b – ширина пластинки.
В случае когда D				(это имеет место для газов) или, что равно-
сильно Pr PrД 1,		все три пограничных слоя будут в соответствии с уравне-

ниями (9.23), (9.42) и (9.48) совпадать между собой по толщине, т. е. = Т = Д. Если скорость, температуру и концентрацию в пределах пограничного

слоя выразить в безразмерных единицах:

V

T Tп

C Cп

,

, C

,

V

1

Tср Tп

Cср Cп

1

U

то в рассматриваемом случае поля скоростей, температуры и концентраций в пограничном слое будут описываться одной и той же кривой, о чем можно судить по предельным значениям этих величин. В самом деле, при

x

0

C Cп , или иначе

2

V

0,

T Tп ,

V1

C 0; при

x2 T Ä ,

1

V1 U , T Tср , C Cср , или V1 C 1.

Таким образом, при одинаковых значениях всех трех коэффициентов переноса ( , а и D) в пограничном слое имеет место полное подобие скоростного, температурного и концентрационного полей.

9.7. Турбулентныйпограничныйслой приобтеканииплоскойпластинки

Ранее было показано, что по мере удаления от передней кромки пластинки толщина пограничного слоя растет. При этом увеличивается и выраженное через число Рейнольдса Re U / . За тем сечением, в котором

это число достигает критического значения Re Re кр , течение в погранич-

ном слое становится турбулентным (рис. 9.5). Однако и в этом случае в непосредственной близости к поверхности пластинки движение остается ламинарным. Эта область течения представляет уже известный ламинарный подслой. Перестройка ламинарного пограничного слоя в турбулентный в действительности совершается не сразу в критическом сечении, а в некоторой следующей за ним переходной области.

Значение числа Re кр зависит от состояния поверхности (степени ее

шероховатости) и от степени турбулентности набегающего потока. По имеющимся экспериментальным данным можно принять, что для пластинки

Re кр = 1650 5750. Указанным пределам для Re кр отвечают следующие

значения числа Re1кр Ux1кр / , выраженного через координату	x	критиче-
	1
 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие		216

Vmax

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.7.Турбулентный пограничный слой при обтекании плоской пластинки

ского сечения: Re1 кр 9 104 1,1 106 . При больших значениях числа Re Ul значение х1кр может оказаться величиной, весьма малой по сравнению с дли-

ной пластинки l . Так, например,			при Re Ul / 107 и				Re1кр 105 будем
иметь
	x1кр		Re1кр		105	0,01.
	l		Re		107

Рис. 9.5

Это означает, что длина ламинарного участка пограничного слоя составляет всего лишь один процент длины пластинки. В подобных случаях можно существованием этого участка пограничного слоя пренебречь и считать его турбулентным для всей длины пластинки.

Для описания поля скоростей в турбулентном пограничном слое используют логарифмический и степенной законы распределения скоростей для турбулентного движения в цилиндрической трубе. Ограничимся лишь применением последнего.

Заменив в уравнениях (8.48), (8.49), (8.50) обозначение осредненной скорости V1 на V1 и введя вместо максимальной скорости на оси трубы

скорость набегающего потока U , а вместо радиуса трубы R0 толщину пограничного слоя , можно записать

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

217

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.7.Турбулентный пограничный слой при обтекании плоской пластинки

V1VU

V

V1

U

			V x		1/ 7
8,57				*	2	;
			V		1/ 7	;
8,57
						(9.52)
x		2	1/ 7
			.

Эти соотношения выражают распределение скорости по толщине турбулентного пограничного слоя.

Опуская подробный вывод, укажем, что использование этих соотношений совместно с уравнением импульсов, которое для турбулентного пограничного слоя имеет тот же вид, что и для ламинарного слоя, позволяет получить выражение для толщины турбулентного пограничного слоя; оно имеет вид

0,37 Ux1 1/ 5 ,

где

x1	0,37	x1
			.	(9.53)
		1 / 5
		Re
		1
Из этого уравнения видно, что толщина турбулентного пограничного
слоя растет пропорционально x1,	тогда как при ламинарном пограничном

слое она меняется пропорционально x1 . Следовательно, турбулентный пограничный слой растет по координате x1 более интенсивно, чем ламинарный.

На основе уравнения (9.53) для толщины пограничного слоя может быть получено выражение для коэффициента сопротивления при турбулентном течении вдоль пластинки: Cf 0Re,0721/5 .

Для лучшего соответствия с экспериментальными данными коэффициент 0,072 в этой формуле должен быть заменен на коэффициент 0,074:

C f		0,074	.	(9.54)
		Re1/ 5

Сравнение этой формулы с формулой (9.27) показывает, что при турбулентном пограничном слое коэффициент сопротивления значительно выше, чем при ламинарном. Так, например, при Re = 106 коэффициент сопротивления при ламинарном пограничном слое по формуле (9.27)

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

218

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.7.Турбулентный пограничный слой при обтекании плоской пластинки

Сf 1,328 1,328 10 3 ,

106

тогда как по формуле (9.54) для турбулентного пограничного слоя

0,074			3
C f		5,6 10		,
	106 1/ 5

т. е. в четыре с лишним раза больше, чем при ламинарном слое. Таким образом, переход ламинарного пограничного слоя в турбулент-

ный сопровождается резким увеличением коэффициента сопротивления. Опыты показывают, что формула (9.54), как и лежащий в ее основе за-

кон корня седьмой степени, применимы лишь при не слишком больших чис-

лах Рейнольдса ( 107 ). При более высоких значениях Re эта формула дает заниженные результаты. Хорошее согласие с экспериментом и для чисел Re значительно больших 107 дает полуэмпирическая формула Фолкнера

C f		0,0367 .	(9.55)
		Re1/ 7

9.8. Связьмеждутеплоотдачейикасательным напряжениемприпродольномобтеканиипластинки

Применим к описанию касательных напряжений в турбулентном пограничном слое уравнение (8.23):

A dV1	,	(9.56)
dx
2

где A – коэффициент турбулентного обмена для количества движения. Знак осреднения при V1 опускаем.

Запишем аналогичное выражение для плотности теплового потока в турбулентном пограничном слое:

				dT
q Cp			Aq			.	(9.57)
	Cp			dx2

Здесь A – коэффициент турбулентного обмена количеством теплоты, а T T x2 – осредненная температура в пограничном слое.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

219

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.8.Связь между теплоотдачей и касательным напряжением при продольном обтекании пластинки

Используя соотношения x2 lx2 , V1 UV1 (где U – скорость набегаю-

щего потока) и Tп T / Tп Tср (откуда T TΠ θ TΠ Tср ), перейдем в уравнениях (9.56) и (9.57) к безразмерным величинам; при этом получим

A U dV1 ; l dx2

			Tп Tср			d
q C			A						.
				l		dx
p C		p	q
					2

Разделив почленно эти два уравнения друг на друга, получим

λ

dθ

C

A T

T

q

p

q п

ср

Cp

dx2

.

(9.58)

μ A U dV1

dx2

Если положим Рr = 1, что практически имеет место для газов, то, как было показано в параграфе 9.8, поля температур и скоростей будут подобны друг другу и могут быть описаны одной и той же кривой. Следовательно,

d

/ dx2 . В связи с этим можно также принять, что

Aq A. Далее из

/ dx2 dV1

условия

Pr

Cp

Cp

1

a

находим, что / Cp .

В результате всех этих упрощений уравнение (9.58) принимает вид

	q		Cp Tп Tср		.	(9.59)
			U

Относительно напряжения трения в турбулентном пограничном слое воспользуемся тем же приближением, которое было принято для этой величины в случае турбулентного течения в трубе (параграф 8.4), т. е. примем,

что const w .

Такое же предположение сделаем относительно распределения плотности теплового потока в пограничном слое, т. е. будем считать, что

q const qw .

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

220

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.8.Связь между теплоотдачей и касательным напряжением при продольном обтекании пластинки

Тогда вместо (9.59) можем записать

q

Cp Tï

Tñð

,

w

U

w

или

qw

w

.

(9.60)

Cp Tп Tср

U

Но

qw

,

T T

п

ср

а

F

U

2

w

C f

,

S

2

где S – смоченная поверхность пластинки; F – ее полное сопротивление. Подставляя эти выражения в соотношение (9.60), находим

C

f

U

,

Сp

2

или

C f

,

Cp U

2

или, наконец,

l

Nu

St

C f

,

(9.61)

Cp U

Ul

C p

Re Pr

2

где St – число Стентона, представляющее меру отношения интенсивности теплоотдачи и удельной энтальпии потока.

Уравнение (9.61) выражает аналогию между теплообменом и сопротивлением трения, установленную Рейнольдсом. При Рr = 1 из этого уравнения находим

	Nu St Re	C f	Re.	(9.62)
		2

Для газов ( Pr 1 ) это уравнение дает возможность определять безразмерный коэффициент теплообмена по величине коэффициента сопротивления. Подтверждение этого можно найти при сопоставлении величин Nu и

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

221

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.8.Связь между теплоотдачей и касательным напряжением при продольном обтекании пластинки

C f , полученных для ламинарного пограничного слоя в уравнениях (9.45) и (9.27). Действительно, по уравнению (9.27) имеем

C f		1,328		1,328 Re	,
		Re		Re

а из уравнения (9.45) при Рr = 1 следует Nu 0,664 Re . Сравнивая эти два выражения, находим Nu C2f Re, что сводится к формуле (9.62).

При турбулентном пограничном слое C f определяется равенством

(9.54). Подставляя это равенство в формулу (9.62), находим число Нуссельта для турбулентного течения в пограничном слое при Рr = 1:

Nu 0,037 Re0,8 .

(9.63)

Теплоотдача пластинки при турбулентном пограничном слое, когда Pr 1 , удовлетворительно описывается формулой

Nu 0,037 Re0,8 Pr0,4 ,

(9.64)

которая применима для случаев обтекания пластинки газами и неметаллическими жидкостями.

9.9. Отрывпограничногослояприобтекании плохообтекаемыхтел. Кризиссопротивления

В отличие от обтекания пластинки, при обтекании тел с искривленными поверхностями давление не остается постоянным вдоль поверхности, а изменяется с изменением скорости во внешнем по отношению к погранич-

ному слою потенциальном потоке в соответствии с уравнением Бернулли Эйлера.

В точке набегания потока скорость минимальная, а давление имеет максимальное значение. По мере удаления от точки набегания потока скорость будет расти, а давление уменьшаться до некоторого минимального значения (в точке М на рис. 9.6). В дальнейшем скорость во внешнем потоке начинает уменьшаться, а давление соответственно возрастать. Такое распределение давления вдоль обтекаемой поверхности вызывает изменение картины распределения скоростей в пограничном слое по мере перехода от лобовой части тела к кормовой.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

222

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.9.Отрыв пограничного слоя при обтекании плохообтекаемых тел. Кризис сопротивления

Вобласти, расположенной вниз по течению от точки М, движение частиц жидкости должно сопровождаться преодолением возрастающего давления. На это оказываются способны частицы жидкости, находящиеся во внешнем потоке, поскольку они обладают достаточно большим запасом кинетической энергии. Кинетическая энергия частиц жидкости, движущихся в пограничном слое, мала, и их продвижение в области растущего давления не может

Рис. 9.6

быть значительным. В точке S, где их кинетическая энергия иссякает, они вынуждены остановиться, а правее этой точки в пограничном слое начинается попятное движение жидкости. Этот процесс способствует отрыву пограничного слоя от поверхности и закладывает начало образованию вихря.

Точка S, в которой		V1		0, называется точкой отрыва пограничного
слоя.		x2	x2 0

Образование вихрей на кормовой стороне поверхности сопровождается понижением давления в этой области. Вследствие этого между лобовой и кормовой частью поверхности возникает перепад давления, который сказывается как дополнительное сопротивление тела, т. н. сопротивление давления, или лобовое сопротивление.

Лобовое сопротивление, которое прибавляется к сопротивлению, обусловленному вязкостью, часто во много раз превосходит последнее. При достаточно больших значениях числа Рейнольдса оно может составить до 90 % общего сопротивления.

Типичными плохо обтекаемыми телами являются шар и цилиндр, обтекаемый в поперечном направлении. Если обтекание такого тела происходит с образованием ламинарного пограничного слоя, то точка отрыва распо-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

223

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.9.Отрыв пограничного слоя при обтекании плохообтекаемых тел. Кризис сопротивления

лагается несколько впереди экваториального сечения, примерно под углом= 82 83° к направлению потока (рис. 9.7).

При Re Ud / Reкр (где d – диаметр шара или цилиндра) ламинарный

пограничный слой переходит в турбулентный, в котором частицы жидкости благодаря более интенсивному обмену количеством движений с внешним потоком обладают большим запасом кинетической энергии, чем в ламинарном слое, и поэтому имеют возможность продвинуться несколько дальше в области растущего давления. По этой причине точка отрыва смещается за эк-

ваториальное сечение до = 120 140 (рис. 9.8). При этом сужается вихревая

область, что приводит к уменьшению лобового, а, следовательно, и общего сопротивления.

Рис. 9.7

Рис. 9.8

Рис. 9.9

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

224

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.9.Отрыв пограничного слоя при обтекании плохообтекаемых тел. Кризис сопротивления

Рис. 9.10

Таким образом, турбулизация пограничного слоя у поверхности плохо обтекаемых тел вызывает резкое понижение сопротивления, тогда как для хорошо обтекаемых тел этот процесс, наоборот, сопровождается резким ростом сопротивления. Это явление называется кризисом сопротивления, или

кризисом обтекания.

На рис. 9.9 приведен график зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса для шара. Часто, чтобы вызвать кризис обтекания, прибегают к искусственной турбулизации течения в пограничном слое. С этой целью устанавливают, например, впереди шара решетку, которая турбулизует поток. Такого же эффекта можно добиться, если надеть на переднюю часть шара узкое проволочное кольцо (рис. 9.10).

9.10. Теплоотдачаприпоперечномобтеканиицилиндра

Как показывают исследования, интенсивность теплообмена для отдельных мест цилиндра, обтекаемого поперечным потоком жидкости, весьма неравномерна. По мере удаления от лобовой образующей, вблизи которой происходит разветвление потока, местный коэффициент теплоотдачи уменьшается в связи с нарастанием пограничного слоя. Такое изменение этой величины имеет место вплоть до точки отрыва пограничного слоя, которая при докритических значениях числа Рейнольдса (т. е. при ламинарном пограничном слое) лежит несколько впереди экваториального сечения (рис. 9.11). За этой точкой начинается возрастание коэффициента теплоотдачи, обусловленное вихреобразованием в кормовой области цилиндра.

Такой характер распределения коэффициента теплоотдачи сохраняется до тех пор, пока Re Reкр . При Re Reкр пограничный слой турбулизуется и

точка отрыва его смещается ближе к кормовой части цилиндра. В этом же направлении сдвигается и точка минимума коэффициента теплоотдачи. По-

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

225

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.10.Теплоотдача при поперечном обтекании цилиндра

скольку отрыв турбулентного пограничного слоя связан со значительно более интенсивным вихреобразованием, чем отрыв ламинарного слоя, то и коэффициент теплоотдачи возрастает в этом случае более резко.

Зависимость между средним значением числа Нуссельта и критерием Рейнольдса для случая поперечного обтекания цилиндра воздухом (Рr = 0,72) может быть выражена формулой

Nu C Rem ,

(9.65)

где С и m – постоянные, зависящие от числа Рейнольдса. Их значения даны в таблице (см. на с. 219).

Рис. 9.11

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

226

9.ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.10.Теплоотдача при поперечном обтекании цилиндра

						Таблица
Re
Vср			5–80	80–5·103	5·103–5·104	> 5·104
С			0,81	0,695	0,197	0,023
m			0,40	0,46	0,60	0,80

Для поперечного обтекания цилиндра другими газами или жидкостями с Pr 0,72 можетбыть рекомендована формула

Nu 1,14C Rem Pr0, 4 ,

(9.66)

в которой постоянные Си m сохраняют прежние значения.

 Гидрогазодинамика. Учеб. пособие

227