52. Закон больших чисел: неравенство Чебышева.

Под «законом больших чисел» в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

В основе- неравенство Чебышева:

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше чем :

Справедливо для дискретных и непрерывных с.в.

53. Теорема Чебышева.

Пусть имеется бесконечная последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной С:

Тогда каково бы ни было положительное число вероятность события стремится к единице.

54. Теорема Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.

55. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.

Распределение суммы большого числа независимых случайных величин при весьма общих условиях близко к нормальному распределению.

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распределены на практике. Объяснение этому было дано А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

56. Генеральная совокупность и выборка: основные определения и понятия.

Математическая статистика – наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.

Задачи математической статистики:

1. Оценка неизвестной функции распределения на основании результатов измерений.

2. Оценка неизвестных параметров распределения.

3. Статическая проверка гипотез.

Пусть изучается некоторый количественный признак x.

Тогда под генеральной совокупностью понимается множество всех его возможных значений.

Для изучения свойств данного признака из генеральной совокупности случайным образом отбирается часть элементов вариантами Xi, которые образуют выборочную совокупность или выборку.

Число элементов совокупности называется ее объектом n.

Выборки: 1) повторная- выборка, при которой отобранный объект(перед отбором следующего0 возвращается в генеральную совокупность.

2) бесповторная- выборка, при которой отобранный объект в генеральную совокупность возвращается.

Чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо чтобы выборка была репрезентативной9представительной)

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект генеральной совокупности должен иметь одинаковую вероятность попасть в выборку.

Если объект генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается.

Перечень вариант, расположенный в возрастающем порядке называется вариационным рядом.

Число наблюдений данной варианты называется ее частотой ni, а отношение частоты ni к объекту выборки n-относительной частоты wi.