- •1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.
- •2. Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных. (см1)
- •3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
- •4. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал.
- •5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.
- •6. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •7. Таблица интегралов.
- •8. Методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственное, подстановки, по частям, разложение дроби на простейшие, тригонометрических функций.
- •9. Определенный интеграл и его геометрический смысл
- •10. Свойства определенного интеграла
- •11. Формула ньютона-лейбница (основная формула интегрального исчисления (!) )
- •12. Методы интегрирования определенного интеграла
- •13) Геометрические приложения определенного интеграла
- •14. Несобственные интегралы первого рода
- •15. Несобственные интегралы второго рода
- •16. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
- •19. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнение Бернулли.
- •27. Элементы комбинаторики: правила суммы и произведения.
- •28. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Противоположные события. Примеры.
- •29. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
- •30. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.
- •31. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
- •32. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
- •33. Формула полной вероятности и формулы Байеса.
- •34. Повторные независимые испытания: постановка задачи, формула Бернулли.
- •35. Локальная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.
- •40. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины.
- •41. Свойства интегральной функции распределения.
- •47. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •52. Закон больших чисел: неравенство Чебышева.
- •53. Теорема Чебышева.
- •54. Теорема Бернулли.
- •55. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •56. Генеральная совокупность и выборка: основные определения и понятия.
- •57. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма.
- •58. Точечные и интервальные статистические оценки и их свойства.
- •59. Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормального распределения генеральной совокупности при известном среднем квадратическом отклонении вычисляется по формуле
- •60. Корреляция и регрессия. Метод наименьших квадратов.
- •61. Проверка статистических гипотез. Основные понятия.
6. Неопределенный интеграл и его свойства.
Неопределённый интеграл для функции f(x) - совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X
Обозначается символом , где С – производная постоянная, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx–подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.
Свойства:
1) Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению:
2) Определённый интеграл от производной некой функции равен самой функции + произвольная постоянная C:
3) Неопределённый интеграл от дифференциала некой функции равен этой функции + произвольная постоянная С:
4) Постоянный множитель А (А≠0) можно выносить за знак неопределённого интеграла:
5) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций (если каждый из них существует):
7. Таблица интегралов.
8. Методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственное, подстановки, по частям, разложение дроби на простейшие, тригонометрических функций.
1) Непосредственное интегрирование заключается в преобразовании подынтегральной функции к табличному виду с использованием основных свойств интеграла.
2) Замена переменной (метод подстановки) в неопределённом интеграле состоит в том, что при вынесении интеграла вместо переменной х вводится новая переменная t, связанная с x определённой зависимостью x=γ(t), где γ(t) монотонна и дифференцируема, тогда справедливо равенство
3) Интегрирование по частям: если функции u= γ(u) и u=Ψ(х) непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке, то справедлива формула:
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Применяется для интегрирования произведений и таких функций, как lnx, arcsinx, arccosx, степенной и тригонометрической, степенной и обратной, степенной и логарифмической и других функций.
4) Интегрирование дробей. Элементарными дробями называются дроби следующих 4-ёх типов: 1) ; 2); 3); 4), гдеm, n – натуральные числа (m≥2, n≥2, b2-4ac<0)
Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.
Если –правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде линейных и квадратичных множителей P(x)=, то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:
=+…+…+++…++++…+,где A1…Ak, B1 … Bp, M1…Me, N1…Nl – некоторые действительные числа. Коэффициенты Аi, Bi, Mi, Ni находят методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений. Для этого необходимо привести равенства к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициент и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольное числовое значение.
5) Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка.
Интеграла вида ,где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg=t
В результате подстановки: sinx==cosx==x=2arctg(t) dx=
Интегралы вида
1) Один из показателей m или n – нечетное положительное число.
Если n - нечетное положительное число, то подстановка sin x=t
Если m - нечетное положительное число, то подстановка cos x=t
2) Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Надо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:
sinx*cosx=½sin(2x)
Интегралы вида ,,.Подынтегральную функцию преобразовываем с помощью тригонометрических формул: