31. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

О. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

О. Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятности этих событий : Р(АВ) = Р(А)* Р_а(В)

32. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Пусть А и В – произвольные события. Вероятность того, что осуществится хотя бы 1 из этих двух событий, равна сумме их вероятностей без вероятности их совмещения:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

( Если события А и В несовместны то вероятность их совмещения равна 0 тогда получим: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) )

33. Формула полной вероятности и формулы Байеса.

Формула полной вероятности: вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,…, B_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

События В_1,В_2,….В_n – гипотезы

Формула Байеса: пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,…, B_n, образующих полную группу. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности:

Допустим, что испытание произведено и событие А наступило. Определим, как изменились вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Согласно теореме умножения имеем:

Тогда,

Используя формулу полной вероятности получаем:

Она позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

34. Повторные независимые испытания: постановка задачи, формула Бернулли.

Некоторые испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом исходе не зависит от исходов других испытаний.

Постановка задачи: пусть производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, а вероятность непоявления события А также постоянна и равна q=1-р. Тогда вероятность того, что в этой серии событие А наступит ровно k раз, равна:

- Формула Бернулли

Число испытаний не больше 10.

Схема Бернулли: 1)Испытание с 2 исходами 2) Испытания независимы 3)Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна

35. Локальная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.

Если испытания удовлетворяют схеме Бернулли, причем число испытаний n достаточно велико (больше 10), а вероятность появления события А в каждом испытании отлична от 0 и 1, то для вычисления вероятности появления события А в n испытаниях ровно k раз, используют приближенную формулу из локальной теоремы Муавра-Лапласа:

причем

Функция (х) – четная, т.е.(-х)=(х), значения этой функции табулированы

36. Интегральная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.

Пусть испытания удовлетворяют схеме Бернулли, число испытаний n достаточно велико (больше 10), а вероятность появления события А в каждом испытании отлична от 0 и 1. Тогда для определения вероятности того, что событие А появится от k₁ до k₂ раз, пользуются приближенной формулой из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

_где

; ;

Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х)= -Ф(х) , значения этой функции табулированы

37. Теорема Пуассона: формулировка теоремы, приближенная формула.

Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала (меньше 0,01), то для вычисления вероятности того, что событие А появится ровно k раз, пользуются приближенной формулой из предельной теоремы Пуассона:

Функция табулирована. Зная значения k и λ, можно сразу найти по таблице значении функции P(k, λ), которая и будет вероятностью появления события А ровно k раз в n испытаниях.

38. Наивероятнейшее число появления события А в n независимых испытаниях.

Наивероятнейшим числом появления события А в n испытаниях называется такое число появлений этого события (), вероятность которого наибольшая.

Наивероятнейшее число появлений события А вn испытаниях можно найти из неравенства:

n•p-q≤≥n•p+p

39. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Примеры.

Под случайной величиной понимается величина, которая принимает то или другое числовое значение в зависимости от случая. Возможные значения случайной величины образуют множество Ω , которое называют множеством возможных значений случайной величины. Например, испытание – бросание игральной кости; с.в. Х – число выпавших очков; множество возможных значений – Ω = {1,2,3,4,5,6}

Дискретная с.в. – величина, множество возможных значений которой конечно и счетно.

Непрерывная с.в. – величина, которая принимает все значения из некоторого интервала (или с.в. называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей числовой оси).

Примеры не написала. Не понимаю, что имеется в виду. Может быть примеры непрерывных распределений.