- •1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.
- •2. Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных. (см1)
- •3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
- •4. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал.
- •5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.
- •6. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •7. Таблица интегралов.
- •8. Методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственное, подстановки, по частям, разложение дроби на простейшие, тригонометрических функций.
- •9. Определенный интеграл и его геометрический смысл
- •10. Свойства определенного интеграла
- •11. Формула ньютона-лейбница (основная формула интегрального исчисления (!) )
- •12. Методы интегрирования определенного интеграла
- •13) Геометрические приложения определенного интеграла
- •14. Несобственные интегралы первого рода
- •15. Несобственные интегралы второго рода
- •16. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
- •19. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнение Бернулли.
- •27. Элементы комбинаторики: правила суммы и произведения.
- •28. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Противоположные события. Примеры.
- •29. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
- •30. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.
- •31. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
- •32. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
- •33. Формула полной вероятности и формулы Байеса.
- •34. Повторные независимые испытания: постановка задачи, формула Бернулли.
- •35. Локальная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.
- •40. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины.
- •41. Свойства интегральной функции распределения.
- •47. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •52. Закон больших чисел: неравенство Чебышева.
- •53. Теорема Чебышева.
- •54. Теорема Бернулли.
- •55. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •56. Генеральная совокупность и выборка: основные определения и понятия.
- •57. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма.
- •58. Точечные и интервальные статистические оценки и их свойства.
- •59. Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормального распределения генеральной совокупности при известном среднем квадратическом отклонении вычисляется по формуле
- •60. Корреляция и регрессия. Метод наименьших квадратов.
- •61. Проверка статистических гипотез. Основные понятия.
14. Несобственные интегралы первого рода
Пусть f(x) определена и непрерывна на . Тогда она непрерывна на любом отрезке [a; b].
Если существует конечный предел , то это предел –несобственный интеграл от f(x) на
[a; ].
Обозначается: =
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится.
Если этот предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.
Это справедливо, если интегралы существуют.
Геометрический смысл: Если f(x) ≥0, то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной области, заключенной между линиями y=f(x), x=a и осью абсцисс.
15. Несобственные интегралы второго рода
Если в точке х=С f(x) либо не определена, либо разрывна, то:
=
Если интеграл существует, то сходится.
Если интеграл не существует, то расходится
Если в точке a=x функция терпит разрыв, то:
=
Если f(x) терпит разрыв в точке b, то на [a; c]:
= +
Точек в отрезке может быть несколько.
Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, о сходится суммарный интеграл.
16. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
Дифференциальное уравнение (ДУ) – уравнение, связывающее независимую переменную х, функцию у = у(х) и ее производные и дифференциалы.
F(x,y,y’,y’’…) = 0
ДУ содержи только производные и дифференциалы, а функцию у и переменную х – не обязательно.
Если ДУ имеет одну независимую переменную, то оно обыкновенное ДУ
Если ДУ имеет больше двух независимых переменных, то это ДУ частных производных
Порядок ДУ – наивысший порядок производных, входящих в него.
Общее решение – такая дифференцируемая функция у = у(х, С), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
y'=y, y = cex
Иногда Ф(х,у,С)=0, которое не разрешается относительно У. Тогда это общий интеграл, а не решение.
Решение у=у(х, СО) получается из общего решения при определенном значении С – частное решение.
Задача Коши – нахождение частного решения ДУ вида у = у(х,Со), удовлетворяющего начальным условиям у(хо) = уо.
Интегральная кривая – график у = у(х) решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.
17. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, функцию и ее первую производную. Общий вид: F(x, y, y`) = 0
Уравнение разрешимое относительно y`, называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенное относительно производной. y` = f(x, y).
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Диф. уравн. 1-го порядка - уравнением с разделяющимися переменными, если оно пожжет быть представлено в виде, где
Для решения дифференциального уравнения искомую функцию y представим в виде произведения двух множителей y = uv, где u – некоторое ненулевое решение соответствующего однородного уравнения. u` + p(x) = 0, а v-новая неизвестная функция. Так как y` = vu` + uv`, то подставляя … получим v[u`+p(x)u] + uv` = q(x) →uv`=q(x)
18. Однородные функции и однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Опр. Многочлен P(x,y) = ∑aijxiyj называется однородным степени n, если все его члены имеют один и тот же порядок n, т.е. для каждого члена имеем I + j = n
Если аргументы x,y однородного многочлена степени n заменить на пропорциональные величины λx и λy, то в результате этот многочлен увеличится на n-степень коэффициента пропорциональности λ.
Опр. Функция P(x,y) называется однородной степени n относительно своих аргументов х и у, если для любого числа λ (кроме 0) имеет место: Р(λх, λу) = λ”P(x,y)
Р. Однородным дифф. уравнением называется уравнение вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0, где M(x,y) и N(x,у) – однородные функции одной и той же степени.
Опр. Дифф. уравнение, которое можно преобразовать к виду y’ = ϕ() называется однородным.
С помощью подстановки u = илиu=yx, где u(x) – новая неизвестная функция, данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, y = ux, тогда y’ = u’x ≠ ux’
Подставим в y’ = ϕ(), получим:u’x + ux’ = ϕu, u’x + u = ϕ(x), и таким образом получим уравнение с разд.переменными относительно u:
= ;=+C
Или: =ln |x| + C = ln |x| + ln |C| = ln |xC|
После этого осуществляется подстановка u = и в результате получаем общее решение однородного дифф.уравнения.