Exercices

41) Recopier et compléter les phrases suivantes :

a) Si deux droites … d’un plan α sont … à deux droites … d’un plan β … les plans α et β sont parallèles.

b) Si deux plans α et β sont parallèles, … toute droite contenue dans le plan α est … au plan β.

c) … deux droites (d) et (d₁) sont …, alors tout plan qui contient la droite (d) est parallèle à la droite (d₁).

d) Si deux plans α et β sont parallèles, alors tout plan γ qui coupe le plan α … le plan β et les droites d’intersections sont … .

e) … deux plans α et β sont … et … les deux plans contiennent respectivement deux droites (d) et (d₁) parallèles entre elles, alors leur droite d’intersection est … aux droites (d) et (d₁).

f) Si trois points appartiennent à deux plans distincts α et β, … ces trois points sont … .

42) Soit un cube ABCDA₁B₁C₁D₁. Montrer que les diagonales (AC) et (A₁C₁) de deux faces opposées ABCD et A₁B₁C₁D₁ sont parallèles l’une à l’autre. Écrire les autres paires de diagonales de faces parallèles l’une à l’autre.

43) Dans le prisme droit ci-dessous, les faces parallèles sont des trapèzes.

a) Citer deux plans parallèles.

b) Les plans (ADH) et (BCF) ont une droite en commun, pourquoi ? Comment dessiner cette droite ?

c) Que peut-on dire de cette droite ?

44) Soit un tétraèdre DABC. Les points I et J sont respectivement sur les arêtes [DB] et [AC].

a) Démontrer que les droites (IJ) et (AD) sont parallèles.

b) Déterminer l’intersection des plans (AIC) et (BJD).

45) On considère le tétraèdre DABC. On note I le point du segment [AD] tel que DI = DA et J et K les milieux respectifs des segments [DB] et [DC]. Les droites (IJ) et (IK) coupent respectivement les droites (AB) et (AC) en M et N.

a) Faire une figure.

b) Déterminer l’intersection des plans (ABC) et (IJK).

c) Démontrer que la droite (JK) est parallèle au plan (ABC).

d) Démontrer que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

46) Les plans α et β sont parallèles. Les points A et B sont situes dans le plan α, les pointes C et D sont situes dans le plan β. Les segmentes [AC] et [BD] se coupent en M. Quelle est la position relative des droites (AB) et (CD) ?

47) Le point S n’appartient pas au plan (ABC). Les points A₁, B₁, C₁ sont relativement les milieux des segments [SA], [SB] et [SC]. Quelle est la position relative des plans (ABC) et (A₁B₁C₁) ?

48) Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. Les points K, M et P sont respectivement les milieux des segments [AB], [AC] et [AD]. Prouver que les plans (DBC) et (KMP) sont parallèles. Calculer le périmètre du triangle KMP, si BD = 12cm, BC = 8cm, DC = 6cm.

49) Soit un cube ABCDA₁B₁C₁D₁. Le point K est le milieu de l’arête [AB]. Déterminer la section du cube ABCDA₁B₁C₁D₁ par le plan α passant par K et parallèle au plan (BDD₁).

50) Soit un cube ABCDA₁B₁C₁D₁. Le point K est le milieu de l’arête [BB₁]. Déterminer la section du cube ABCDA₁B₁C₁D₁ par le plan α passant par K et parallèle au plan (BC₁A₁).

51) Déterminer la section du cube ABCDA₁B₁C₁D₁ par le plan α passant par les arêtes [AB] et [D₁C₁].

52) Soit un cube ABCDA₁B₁C₁D₁. Démontrer que les plans (AB₁D₁) et (C₁BD) sont parallèles.

53) Soit un tétraèdre ABCD. Le point M est le milieu du segment [CD]. Construire la section de ce tétraèdre par le plan passant par la droite (AB) et le point M.

54) Soit un tétraèdre ABCD. Construire la section de ce tétraèdre par le plan passant par le milieu du segment [DC], le point B et parallèle à la droite (AC).

55) Soit un tétraèdre ABCD. Construire la section de ce tétraèdre par le plan passant par le milieu du segment [DB], le point A et parallèle à la droite (BC).

56) Soit un tétraèdre ABCD. Construire la section de ce tétraèdre par le plan passant par les points K, M et N, où K et M sont respectivement les milieux des segments [DC] et [BC], N est le point du segment [AB] tel que AN = AB.