- •Sommaire
- •4.3 Révision .............................................................................................72
- •1. Droites et plans de l’espace
- •1 .1 Règles de base
- •Exercices
- •1) Vrai ou faux ?
- •1.2 Positions relatives de deux droites
- •Exercices
- •1.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan
- •Exercices
- •1.4 Positions relatives de deux plans
- •Exercices
- •1.5 Révision
- •2. Généralités sur les fonctions
- •2. 1 Notion de fonction
- •Exercices
- •2. 2 Étude de fonctions
- •2) Sens de variation d’une fonction
- •3) Maximum, minimum d’une fonction
- •4) Parité d’une fonction
- •Exercices
- •2. 3 Fonction « racine nième»
- •1) Représentation graphique
- •2) Sens de variation
- •Exercices
- •2.4 Révision
- •3. Fonctions trigonométriques
- •3. 1 Trigonométrie dans un triangle rectangle
- •Exercices
- •3. 2 Cosinus, sinus et tangente d’un nombre réel
- •2) Relation fondamentale de la trigonométrie:
- •6) Valeurs remarquables
- •8) Angles associés
- •Exercices
- •3.3 Fonctions trigonométriques
- •5) La représentation graphique 6) Les variations :
- •5) La représentation graphique 6) Les variations :
- •5) La représentation graphique 6) Les variations :
- •Exercices
- •3.4 Équations trigonométriques
- •Exercices
- •3.5 Inéquations trigonométriques
- •Exercices
- •3.6 Révision
- •4. Orthogonalité dans l’espace
- •4. 1 Droite et plan orthogonaux
- •6) Trois perpendiculaires
- •4) La projection orthogonale sur un plan
- •Exercices
- •4. 2 Plans perpendiculaires
- •Exercices
- •4.3 Révision
2. 2 Étude de fonctions
Mots à retenir
la fonction f est croissante (décroissante) sur un intervalle I (функция f возрастает (убывает) на промежутке I)
étudier le sens de variation d’une fonction (найти промежутки возрастания и убывания функции)
étudier le signe d’une fonction (найти промежутки знакопостоянства функции)
f admet un maximum (un minimum) sur I en a (функция f имеет максимум (минимум) на интервале I в точке a)
la fonction f est paire (impaire) (функция f чётная (нечётная))
Définitions
1) f est une fonction positive sur D si et seulement si pour tout x de D, on a :
f(x) 0. La courbe représentative d’une fonction positive est toujours au-dessus de l’axe des abscisses.
2) Sens de variation d’une fonction
Soit f est une fonction définie sur intervalle I de R.
-
Dire que la fonction f est croissante sur I signifie que : pour tous réels x1 et x2 de I, si x1 < x2, alors f(x1)f(x2).
-
Dire que la fonction f est décroissante sur I signifie que : pour tous réels x1 et x2 de I, si x1 < x2, alors f(x1) f(x2).
-
La fonction f est constante sur I signifie : pour tous réels x1 et x2 de I,
f (x1) = f(x2).
-
Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante sur cet intervalle.
Interprétation graphique : Soit la courbe représentative de la fonction f.
-
Sur [a ; b], la fonction est croissante ainsi que sur [d ; e].
-
Sur [b ; c], la fonction est décroissante.
-
Sur [c ; d] la fonction est constante.
Imaginons qu’un personnage se déplace sur une courbe de gauche à droite. On décide de le repérer par un couple de coordonnées (x ; f(x)). Lorsque le personnage se déplace de (a ; f(a)) à (b ; f(b)), il monte. Lorsque le personnage se déplace de (b ; f(b)) à (c ; f(c)), le personnage descend. Lorsque le personnage se déplace de (c ; f(c)) à (d ; f(d)), le personnage se déplace horizontalement.
3) Maximum, minimum d’une fonction
Soit f est une fonction définie sur intervalle I de R.
-
Dire que la fonction f admet un maximum sur I en a signifie que : pour tout nombre réel x de I, f(x) f(a). Le maximum de f sur I est f(a).
-
Dire que la fonction f admet un minimum sur I en a signifie que : pour tout nombre réel x de I, f(x) f(a). Le maximum de f sur I est f(a).
-
Un extremum est un maximum ou un minimum.
4) Parité d’une fonction
Soit f est une fonction définie sur une partie D de R et si x appartient à D, alors son opposé -x appartient aussi à D.
-
Dire que la fonction f est paire signifie que : pour tout nombre réel x appartenant à D, f (-x) = f(x).
-
Dire que la fonction f est impaire signifie que : pour tout nombre réel x appartenant à D, f (-x) = -f(x).
Interprétation graphique :
-
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
-
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Méthode 1 Déterminer le signe d’une fonction f définie sur une partie D de R, c’est déterminer le signe de f(x) pour n’importe quel nombre réel x de D.
On détermine alors :
-
les nombres réels pour lesquels f(x) = 0,
-
les nombres réels pour lesquels f(x) > 0,
-
les nombres réels pour lesquels f(x) < 0,
puis on résume les résultats dans un tableau appelé tableau de signes de f.
Exemple :
On donne ci-contre la courbe représentative
d’une fonction f sur intervalle [-3 ; 4].
Graphiquement, on voit que :
-
f(x) = 0 pour x = -1 ou x = 3 ;
-
f(x) > 0 pour x[-3; -1[] 3; 4].
-
f(x) < 0 pour x]-1 ; 3[
On peut résumer les trois résultats par le tableau de signes de f suivants :
x |
-3 -1 3 4 |
signe de f(x) |
+ 0 - 0 + |
Méthode 2 Étudier le sens de variation d’une fonction f définie sur un intervalle I de R revient à déterminer les intervalles inclus dans I sur lesquels la fonction f est croissante, décroissante ou constante. On résume les résultats dans un tableau appelé tableau de variations de f.
Exemple :
La fonction f représentée ci-contre est :
-
décroissante sur l’intervalle [-3 ; 1]
-
croissante sur l’intervalle [1; 4]
Son tableau de variation est le suivant :
x |
-3 1 4 |
variations de f(x)
|
2 1 -2 |
Méthode 3 Déterminer le maximum ou le minimum d’une fonction f
-
par lecture graphique :
-
Le maximum M de f sur I est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe représentative de f sur I.
-
Le minimum m de f sur I est l’ordonnée du point le plus bas de la courbe représentative de f sur I.
-
par lecture du tableau de variations de f
Exemple :
x |
-3 6 8 10 |
f(x)
|
0 4 -3 -1 |
Relativement au tableau de variation : sur [-3 ; 10], le nombre 4 est le maximum de f atteint pour x = 8, et -3 est le minimum de f atteint pour x = 6.