Задания для самостоятельной работы
Исследовать, являются ли данные решения линейно независимыми.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
Найти общие решения однородных уравнений, а также частные решения в тех заданиях, где поставлены начальные условия.
36.
.
37.
.
38.
.
39.
.
40.
.
Найти общие решения неоднородных уравнений, а также частные решения в тех заданиях, где поставлены начальные условия.
41.
.
42.
.
43.
.
44.
.
45.
.
46.
.
47.
.
48.
.
49.
.
50.
.
По заданным корням характеристического уравнения и виду правой части выписать вид частного решения дифференциального уравнения.
51.
.
52.
.
53.
.
54.
.
Найти решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям, используя операционный метод и, где возможно, интегралы Дюамеля.
55.
.
56.
.
57.
.
58.
.
59.
.
60.
.
4.3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
4.3.1. Уравнения Эйлера
Линейные уравнения с переменными коэффициентами вида
(75)
(751)
или
(76)
(761)
называются
уравнением Эйлера. Здесь
-
постоянные коэффициенты.
С помощью подстановки
(77)
для уравнения (75), (751) и
(78)
для уравнения (76), (761) оба эти уравнения сводятся к уравнению с постоянными коэффициентами. Для этого необходимо вычислить производные, например, от (77) по новой переменной t:
,
(79)
……………………………………………………………
.
Подставив значения
(79) в уравнение (75),
получим новое уравнение с постоянными
коэффициентами
, (80)
которое называется
преобразованным уравнением, по
отношению к уравнению (75).
Интегрируя это уравнение, находится
решение
и далее после возвращения к старой
переменной в соответствии с формулой
(77) -
,
найдем решение уравнения (75).
Решения уравнений (751),
(76), (761)
находятся аналогичным способом.
Пример 37.
Найти решение уравнения:
.
▲ Полагая
или
,
найдем
.
Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:
.
Подставив
в
исходное уравнение, получим
.
Следовательно, мы
получили однородное линейное уравнение.
Его характеристическое уравнение
имеет корни
.
Поскольку корни действительные и
кратные, с кратностью равной двум, то
общее решение будет иметь вид:
.
Перейдя к переменной х, окончательно получим общее решение исходного уравнения
.▲
Пример 38. Найти решение уравнения:
.
▲ Полагая
или
,
найдем
.
Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:
.
Подставив
в
исходное уравнение, получим
.
(*)
Это неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами Общее решение соответствующего ему однородного уравнения (см. пример 36) имеет вид
,
а частное решение можно получить методом неопределенных коэффициентов.
Поскольку параметры
правой части неоднородного уравнения
(*) равны, соответственно,
q = 0, l = 0 и число
не совпадает ни с одним корнем
характеристического уравнения, поэтому
s=0, и m
= max(q,l)=
0. Исходя из этого, можно выписать
вид искомого частного решения:
Вычислим производные
от
и подставив их в уравнение (*), получим
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях этого уравнения
Следовательно, частное решение уравнения (*) имеет вид
,
а общее решение уравнения (*) будет выглядеть так:
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.▲
Частные решения однородного уравнения Эйлера (75)
,
также можно получить, если использовать подстановку вида:
(81)
Вычислив производные
,
и подставив их в
уравнение (75) и сокращая
на
,
получим
(82)
Это уравнение п-ой
степени относительно k
имеет п корней:
;
если все корни различны, то мы получаем
п линейно независимых частных
решений
,
следовательно, общее решение будет
иметь вид:
.
(83)
Пример 39. Найти решение уравнения:
.
▲ Ищем решение в
виде
,
тогда уравнение (82)
принимает вид:
,
откуда
.
Мы видим, что корни действительные и
различные, поэтому общее решение при х
> 0 имеет вид
.▲
Кроме того, уравнение (82) будет характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (80)
,
так как
.
Следовательно, кратному корню
кратности
уравнения (82) будут
соответствовать частные решения
преобразованного уравнения
а общее решение преобразованного уравнения будет иметь вид:
.
С учетом того, что
,
общее решение уравнения Эйлера принимает
вид:
.
Пример 40.
Найти решение уравнения:
.
▲ Ищем решение в
виде
,
тогда уравнение (82)
принимает вид:
,
откуда
Мы видим, что корни кратные с кратностью
равной 2, поэтому общее решение при х
> 0 имеет вид:
.▲
Комплексным
сопряженным корням
кратности
уравнения (82) будут
соответствовать частные решения
преобразованного
уравнения или с учетом того, что
частные решения
исходного уравнения Эйлера.
Пример 41.
Найти решение уравнения:
.
▲ Ищем решение в
виде
,
тогда уравнение (82)
принимает вид:
,
откуда
,
Мы видим, что корни комплексные, поэтому
общее решение при х > 0
имеет вид
.▲
Пример 42. Найти решение уравнения:
.
▲ Это уравнение
Эйлера вида (76), поэтому
его решение ищем в виде
,
тогда уравнение (82)
принимает вид:
,
откуда
,
Мы видим, что корни действительные и
различные, причем среди них имеется
двукратный корень-
.
Поэтому частными решениями будут
,
а общее решение имеет вид
.▲