- •1. Основные понятия
- •2. Виды интегрируемых нелинейных уравнений п-го порядка
- •2.1. Дифференциальное уравнение вида
- •2.2. Дифференциальное уравнение вида
- •2.3. Дифференциальные уравнения вида
- •2.4. Уравнения, левая часть которого есть точная производная
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Уравнения п-го порядка, допускающие понижения порядка.
- •3.1. Уравнения вида
- •3.2. Уравнение вида
- •3.3. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных
- •3.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида
- •3.5. Уравнения, приводимые к виду
- •4.1.2. Неоднородное линейное уравнение
- •4.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.1. Однородное уравнение
- •Алгоритм нахождения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.2. Неоднородные линейные уравнения
- •Алгоритм нахождения частного решения уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Алгоритм нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
- •4.3.1. Уравнения Эйлера
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.4.1. Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду
- •4.4.2. Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4.3. Приведение уравнения 2-го порядка к самосопряженному виду
- •4.4.4. Краевая задача для уравнения 2-го порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение уравнений второго порядка с помощью рядов
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Метод малого параметра.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные работы
- •Ответы к заданиям для самостоятельной работы
- •Список использованных источников
4.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
4.2.1. Однородное уравнение
Рассмотрим однородное уравнение вида
, (44)
в котором коэффициенты - постоянные вещественные числа. Это уравнение имеет фундаментальную систему решений , определенную при всех х и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций. Общее решение уравнения (44) имеет вид (35)
где - произвольные постоянные, и определено в области (36)
a < x < b, < +, < +, …, < +.
Рассмотрим метод нахождения общего решения уравнения (44), который предложил Эйлер. Суть его заключается в том, что частное решение уравнения (44) ищется в виде
, (45)
где - некоторое вещественное или комплексное постоянное число, подлежащее определению.
Подставляя (45) в уравнение (44), будем иметь
, (46)
поделив это уравнение на , получим алгебраическое уравнение вида
, (47)
которое называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (44).
Структура фундаментальной системы решений , а также общего решения уравнения (44) зависит от вида корней характеристического уравнения (47).
Рассмотрим правила построения фундаментальной системы, а также позволяющие решить задачу нахождения общего решения однородного уравнения.
Правило 1. Если все корни характеристического уравнения (47) различные и действительные числа, то есть , то соответствующее им частные решения
образуют фундаментальную систему, следовательно, общее решение уравнения (44) в этом случае имеет вид:
, (48)
где - произвольные постоянные.
Правило 2. Корни характеристического уравнения (47) различные и среди них имеются комплексные, то есть .
Соответствующее корню решение принимает мнимую форму:
.
Чтобы освободиться от мнимой формы, преобразуем это решение по формуле Эйлера:
.
Отсюда получаем два линейно независимых частных решения уже в вещественной форме:
и . (49)
Таким образом, корням в формуле общего решения уравнения (44) соответствует выражение вида
, (50)
так как сопряженный корень не дает новых решений, не содержащихся в формуле (50).
Если корни характеристического уравнения чисто мнимые: , то соответствующими независимыми частными решениями будут
.
Следовательно, корням в формуле общего решения уравнения (44) соответствует выражение вида
, (51)
где - произвольные постоянные.
Правило 3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.
3.1. Пусть среди корней характеристического уравнения есть равные действительные корни , то корню 1 кратности k соответствуют k линейно независимых частных решения
,
а соответствующая компонента общего решения уравнения (40) имеет вид:
, (52)
где - произвольные постоянные.
3.2. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень кратности k, а это значит, что есть также и сопряженный ему корень той же кратности. В этом случае паре корней соответствуют 2k линейно независимых частных решения:
Следовательно, соответствующая компонента общего решения уравнения (44) имеет вид:
, (53)
где и - произвольные постоянные.