- •1. Основные понятия
- •2. Виды интегрируемых нелинейных уравнений п-го порядка
- •2.1. Дифференциальное уравнение вида
- •2.2. Дифференциальное уравнение вида
- •2.3. Дифференциальные уравнения вида
- •2.4. Уравнения, левая часть которого есть точная производная
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Уравнения п-го порядка, допускающие понижения порядка.
- •3.1. Уравнения вида
- •3.2. Уравнение вида
- •3.3. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных
- •3.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида
- •3.5. Уравнения, приводимые к виду
- •4.1.2. Неоднородное линейное уравнение
- •4.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.1. Однородное уравнение
- •Алгоритм нахождения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.2. Неоднородные линейные уравнения
- •Алгоритм нахождения частного решения уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Алгоритм нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
- •4.3.1. Уравнения Эйлера
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.4.1. Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду
- •4.4.2. Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4.3. Приведение уравнения 2-го порядка к самосопряженному виду
- •4.4.4. Краевая задача для уравнения 2-го порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение уравнений второго порядка с помощью рядов
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Метод малого параметра.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные работы
- •Ответы к заданиям для самостоятельной работы
- •Список использованных источников
4.1.2. Неоднородное линейное уравнение
Для построения общего решения неоднородного линейного уравнения (27)
достаточно найти одно его частное решение у1 и присоединить к нему общее решение
,
соответствующего ему однородного уравнения
.
Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения в области (36) имеет вид:
. (37)
Все решения неоднородного линейного уравнения (27) содержатся в формуле (37).
Если правая часть уравнения (27) состоит из нескольких слагаемых
, (38)
то его частное решение будет равно сумме частных решений
(39)
уравнений с той же левой частью и правой частью, равной каждому из слагаемых в отдельности
Если известно одно частное решение однородного уравнения (27), то можно с помощью замены
, (40)
где z – неизвестная функция, понизить его порядок, а следовательно, и порядок соответствующего ему неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (п – 1)-го порядка относительно z также является линейным.
Пример 20. Найти общее решение уравнения: , если известно одно его частное решение .
▲ На этот раз, в отличие от примера 18, воспользуемся формулой (40). Произведем замену ; тогда вычислив производные
и подставив их в исходное уравнение, получим уравнение
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
,
которое совпадает с выражением общего решения примера 19. ▲
Для нахождения общего решения неоднородного уравнения обычно применяют метод вариации произвольной постоянной или как его еще называют метод Лагранжа. Этот метод показывает, что решение неоднородного уравнения сводится по сути дела к решению соответствующего ему однородного уравнения, т.к. зная фундаментальную систему решений однородного уравнения можно найти частное решение у неоднородного уравнения в виде:
, (41)
где - некоторые непрерывно дифференцируемые функции от х, которые необходимо определить. Эти функции можно найти из следующей системы:
(42)
Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского для системы решений , который отличен от нуля при любом значении х из интервала [a,b]. Поэтому система (42) дает единственное решение относительно при любом значении х из интервала [a,b]:
откуда
. (43)
Подставляя значения в формулу (41), получим искомое частное решение неоднородного линейного уравнения (27).
Для уравнений второго порядка вида
система (42) имеет вид
Решение этой системы можно найти по формулам
.
Следовательно, зная выражения для можно сразу записать вид общего решения исходного неоднородного уравнения 2-го порядка:
,
где W(y1, y2) – вронскиан решений y1 и y2 однородного уравнения, соответствующего исходному неоднородному уравнению.
Пример 21. Найти общее решение уравнения:
.
▲В примере 19 было найдено общее решение однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению
.
Поэтому в соответствии с правилом построения частного решения по методу Лагранжа, представим частное решение исходного уравнения в виде (41)
.
Далее составим систему (42)
.
Разрешая эту систему относительно , получим
Следовательно, частное решение исходного уравнения будет иметь вид:
.
Это же решение можно получить, если использовать формулу
,
с учетом того, что
, частное решение имеет вид:
.▲