- •1. Основные понятия
- •2. Виды интегрируемых нелинейных уравнений п-го порядка
- •2.1. Дифференциальное уравнение вида
- •2.2. Дифференциальное уравнение вида
- •2.3. Дифференциальные уравнения вида
- •2.4. Уравнения, левая часть которого есть точная производная
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Уравнения п-го порядка, допускающие понижения порядка.
- •3.1. Уравнения вида
- •3.2. Уравнение вида
- •3.3. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных
- •3.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида
- •3.5. Уравнения, приводимые к виду
- •4.1.2. Неоднородное линейное уравнение
- •4.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.1. Однородное уравнение
- •Алгоритм нахождения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.2. Неоднородные линейные уравнения
- •Алгоритм нахождения частного решения уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Алгоритм нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
- •4.3.1. Уравнения Эйлера
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.4.1. Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду
- •4.4.2. Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4.3. Приведение уравнения 2-го порядка к самосопряженному виду
- •4.4.4. Краевая задача для уравнения 2-го порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение уравнений второго порядка с помощью рядов
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Метод малого параметра.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные работы
- •Ответы к заданиям для самостоятельной работы
- •Список использованных источников
Задачи для самостоятельной работы
Найти решения уравнений в виде степенных или обобщенно степенных рядов.
92. . 93. .
94. . 95. .
96. . 97. .
98. . 99. .
100. .
-
Метод малого параметра.
Метод малого параметра может быть использован при нахождении периодических решений уравнений вида:
(117)
где F – известная периодическая функция по t, а - малый параметр. Его суть заключается в том, что решение уравнения (117) ищется в виде сходящегося при малых значениях (малых по сравнению с единицей, то есть ) степенного ряда по :
(118)
Далее этот ряд подставляется в уравнение (117) после чего, необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях. При этом постоянные интегрирования, возникающие при решении уравнений относительно функций , находятся из условий периодичности функций, заключающихся в отсутствии резонирующих членов в правых частях исходных дифференциальных уравнений.
Если правая часть уравнения (117) явно от t, то период решения заранее не известен. В таком случае в уравнении (117) следует сделать замену
(119)
где - новая независимая переменная, и искать решение периода . При этом коэффициенты определяются из условий периодичности решений
Пример 54. С помощью малого параметра найти приближенно периодические решения уравнения с периодом, равным периоду правой части уравнения:
.
▲ Согласно методу малого параметра, периодическое решение ищем в виде (118), где - 2 -периодические функции. Подставляя ряд (118) в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений:
Найдем общее решение первого уравнения. Запишем сначала общее решение, соответствующего ему однородного уравнения, в соответствии с корнями характеристического уравнения
,
а затем найдем методом неопределенных коэффициентов его частное решение
подставив полученное частное решение и его вторую производную в неоднородное уравнение найдем неопределенные коэффициенты
.
Таким образом, частное решение будет иметь вид
,
тогда общее решение будет выглядеть следующим образом
.
Поскольку требуется найти 2 -периодическое решение, то в последнем равенстве следует положить . Следовательно,
.
Принимая во внимание это значение, второе уравнение запишем в виде
,
и его общее решения будет иметь вид:
.
Отсюда в силу требования 2 -периодичности функции х1 имеем:
.
Принимая во внимание найденные значения х0 и х1 третье уравнение системы принимает вид: .
Решая это уравнение, получим
.
Подставляя в исходное уравнение, приходим к искомому решению
▲
Пример 55. С помощью малого параметра найти приближенно периодическое решение уравнения:
.
▲ Поскольку правая часть от t явно не зависит, то сначала сделаем замену
где bi – постоянные, подлежащие определению. Тогда получим уравнение
Приближенное решение этого уравнения будем искать в виде ряда
Подставляя этот ряд в уравнение, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений
Так как первое уравнение системы является однородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами, то его решение достаточно легко получить
Подставив это решение во второе уравнение, получим
Поскольку мы ищем периодические решения, то в этом уравнении должны положить . Отсюда следует, что . Тогда из преобразованного второго уравнения системы нетрудно найти, что
Учитывая найденные , третье уравнение системы можно представить в виде:
Отсюда видим, что условием отсутствия резонирующих членов является выполнение равенств: . Таким образом,
и
▲