- •1. Основные понятия
- •2. Виды интегрируемых нелинейных уравнений п-го порядка
- •2.1. Дифференциальное уравнение вида
- •2.2. Дифференциальное уравнение вида
- •2.3. Дифференциальные уравнения вида
- •2.4. Уравнения, левая часть которого есть точная производная
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Уравнения п-го порядка, допускающие понижения порядка.
- •3.1. Уравнения вида
- •3.2. Уравнение вида
- •3.3. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных
- •3.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида
- •3.5. Уравнения, приводимые к виду
- •4.1.2. Неоднородное линейное уравнение
- •4.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.1. Однородное уравнение
- •Алгоритм нахождения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.2. Неоднородные линейные уравнения
- •Алгоритм нахождения частного решения уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Алгоритм нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
- •4.3.1. Уравнения Эйлера
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.4.1. Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду
- •4.4.2. Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4.3. Приведение уравнения 2-го порядка к самосопряженному виду
- •4.4.4. Краевая задача для уравнения 2-го порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение уравнений второго порядка с помощью рядов
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Метод малого параметра.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные работы
- •Ответы к заданиям для самостоятельной работы
- •Список использованных источников
3.5. Уравнения, приводимые к виду
Если путем алгебраических преобразований дифференциальное уравнение вида (24)
можно привести к виду
,
то интегрированием его порядок можно понизить на единицу:
,
где - известная функция.
Пример 17. Найти общее решение уравнения:
.
▲ Поделив обе части этого уравнения на , получаем
.
Интегрируя, находим
.
Умножив обе части этого уравнения на , снова получаем уравнение, обе части которого являются полными производными:
.
Проинтегрировав это уравнение, имеем
,
разделяя переменные
и интегрируя, окончательно получаем
При делении на мы потеряли решение . Следовательно, , где , также будет решением исходного уравнения. ▲
Задания для самостоятельной работы
Проинтегрировать уравнения и, где указано, найти решения, удовлетворяющие начальным условиям.
11. . 12. . 13. .
14. . 15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
25. . 26. . 27. .
Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям
28. .
29. .
30. .
4. Линейные уравнения высших порядков
4.1. Введение
4.1.1. Однородное уравнение
Линейным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
, (26)
где все непрерывные на некотором отрезке [a,b] функции. Считая можно разделив уравнение (26) на и вводя новые обозначения
,
представить уравнение (26) в виде:
. (27)
Если при всех значениях х функция f(x) равна нулю, то уравнение (27) будет называться однородным линейным уравнением
, (28)
в противном случае – неоднородным линейным уравнением.
Левая часть уравнения (28) может обозначаться кратко через линейный дифференциальный оператор -. Тогда уравнение (28) можно записать в виде
(28′ )
Поскольку коэффициенты уравнения (26) являются непрерывными на отрезке [a,b] функциями, то и коэффициенты уравнения (27) также будут непрерывными на отрезке [a,b] функциями. Тогда уравнения (26) и (27) будут иметь единственное решение у = у(х), определенное во всем интервале [a,b] и удовлетворяющее начальным условиям:
, (29)
причем начальные данные можно задавать совершенно произвольно, а х0 нужно брать из интервала [a,b].
Всякое решение линейного уравнения является частным решением и особых решений оно не имеет. Кроме того, однородное линейное (28) уравнение всегда имеет нулевое решение и оно удовлетворяет нулевым начальным условиям
, (30)
причем других решений с такими же начальными условиями, нет.
Для построения общего решения однородного линейного уравнения (28) достаточно знать п линейно независимых в интервале [a,b] частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество
a < x < b,
где - постоянные числа, может выполняться только в том случае, когда . Такая система решений называется фундаментальной. Для того, чтобы система решений была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы решения были линейно независимыми, а также ее определитель, который называется определителем Вронского или вронскианом
, (31)
должен быть отличным от нуля хотя бы в одной точке из интервала [a,b].
Пример 18. Дано уравнение: . Составляют ли фундаментальную систему решений функции , являющиеся решениями этого уравнения?
▲ Фундаментальная система решений должна состоять из линейно независимых решений исходного уравнения. Поэтому необходимо выяснить являются ли функции линейно независимыми. Для этого вычислим вронскиан:
.
Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы. Следовательно, функции являются линейно зависимыми, а поэтому они не могут составлять фундаментальную систем. Таким образом, составить общее решение по этим частным решениям нельзя. ▲
Вронскиан п решений однородного линейного уравнения п-го порядка связан с первым коэффициентом уравнения (28) формулой Остроградского – Лиувилля:
. (32)
Формула Остроградского-Лиувилля может быть использована для интегрирования линейного уравнения второго порядка вида
, (33)
если известно одно нетривиальное решение этого уравнения . Согласно формуле Остроградского-Лиувилля любое решение этого уравнения второго порядка должно быть также решением уравнения
Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка можно воспользоваться методом интегрирующего множителя. Умножая на , получим
или
. (34)
Пример 19. Найти общее решение уравнения: , если известно одно его частное решение .
▲ По формуле (34) находим
.▲
Фундаментальная система решений однородного уравнения (28) называется нормированной в точке х = х0, если эти решения удовлетворяют соответственно следующим начальным условиям:
при х = х0.
Если найдена фундаментальная система решений однородного уравнения (28), то формула
, (35)
где - произвольные постоянные, дает общее решение этого уравнения в области
a < x < b, < +, < +, …, < +. (36)
Все решения уравнения (28) содержаться в формуле (35).