Лекция 5 механика. Часть V

5.1 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ (ОКОНЧАНИЕ)

5.1.1 Потенциальная энергия

5.2 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

5.2.1 Закон сохранения импульса

5.2.2 Закон сохранения момента импульса. Трёхстепенной гироскоп

5.2.3 Закон сохранения механической энергии

5.2.4 О законах сохранения в природе. Принцип симметрии

Некоторые примеры

Вопросы для повторения

5.1 Работа и энергия (окончание)

5.1.1 Потенциальная энергия

Рассмотрим два примера вывода формул для расчёта потенциальной энергии.

Пример 1. Потенциальная энергия тела в поле сил тяжести

При перемещении тела из точки 1 в точку 2 (расположенную на поверхности Земли, рис. 5.1) по отрезку 1-2 сила тяжести совершает работу A  . Если высота, на которой находилось тело в начале траектории, не слишком большая, то изменением с высотой ускорения свободного падения g можно пренебречь, и тогда, согласно рисунку,

A   

 mgcos  mglcos  mgh.

Но по определению A  W_П1  W_П2, и, полагая, что на поверхности Земли (в точке 2) W_П2  0, получаем, что A  W_П1. Таким образом, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли (в предположении, что g не меняется с высотой), рассчитывается по формуле

W_П  mgh. (5.1)

Пример 2. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины

Рассмотрим тело, закреплённое на упруго деформированной (например, – растянутой) пружине жёсткостью k.

М ы знаем, что если тело сместить от положения равновесия на расстояние x, на него со стороны пружины будет действовать сила F_УПР, по величине равная kx, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия, в котором x  0 (рис. 5.2).

В процессе возврата тела в такое положение (из точки с координатой x в точку с координатой 0) упругая сила совершит работу:

A    k    .

В положении равновесия потенциальную энергию пружины примем равной нулю, тогда вновь, согласно определению, можно записать A  W_П1  W_П2  W_П1, то есть потенциальная энергия упруго деформированной пружины описывается формулой

W_П  . (5. 2)

Заметим: в ходе вывода формулы мы ещё раз (как и в случае вычисления второй космической скорости) продемонстрировали, как рассчитывается работа переменной силы. Подобную же процедуру мы проделаем позднее (в разделе «Электростатика») при получении формулы для расчёта потенциальной энергии одного точечного заряда в поле другого точечного заряда.

5.2 Законы сохранения

Среди законов природы, известных человечеству, выделяется группа, имеющая всеобщий характер, и непосредственно отражающая фундаментальные свойства нашей Вселенной. Это – законы сохранения. Обсудим основные из их.

5.2.1 Закон сохранения импульса

Начнём с определения.

Пусть имеется система, состоящая из N материальных точек (или тел), импульсы которых обозначим: , ,…, , …, (напоминаем, что импульсом материальной точки, имеющей массу m_i и скорость , называется произведение  m_i). Система называется замкнутой, если на неё не действуют внешние силы (или такие силы действуют, но их сумма равна нулю).

Оказывается, что для такой системы всегда выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс замкнутой системы материальных точек (тел) не меняется со временем:

 …   …   const. (5.3)

Заметим: импульс – вектор, и складывать импульсы необходимо соответствующим образом: либо по правилу параллелограмма, либо – складывая проекции этих векторов.

Типичным примером проявления закона сохранения импульса является реактивное движение. Пока ракета покоится, её импульс равен нулю; в результате сгорания топлива вырвавшаяся из сопла со скоростью ₁ порция газов массой m движется в одну строну, а сама ракета, имеющая массу M, – со скоростью ₂ в противоположную сторону так, с что суммарный импульс системы остаётся нулевым (M₂  m₁  0). Правда, по мере сгорания топлива масса ракеты непрерывно уменьшается, а скорость потока газа относительно Земли становится всё меньше, и это необходимо учитывать при выводе уравнения реактивного движения.

Можно задать себе вопрос: а что происходит с системой тел в случае, если она незамкнута? Ответ даёт второй закон Ньютона: если на систему в течение некоторого времени t действуют силы, равнодействующая которых равна , то импульс системы меняется на

 t (5.4)

и становится равным   (здесь сложение – векторное).