7.1.3 Связь энергии и импульса тела.

Инварианты к преобразованиям Лоренца

Как мы отметили выше, полная энергия тела связана с его релятивистской массой соотношением E  mc². Преобразуем это выражение, возведя в квадрат правую и левую части и используя формулу для зависимости массы от скорости:

E²  m²c⁴    m₀²c⁴  c², или

E  . (7.6)

Пример 1:

При скорости объекта   с (то есть при  1)

E   m₀c²  m₀c² 

 m₀c²  m₀c²  m₀c²   E₀  W_К,

чего и следовало ожидать.

Пример 2:

Согласно второму постулату Эйнштейна в СТО кванты света (фотоны) в любой инерциальной системе отсчёта движутся со скоростью c, то есть не могут покоиться, и поэтому не обладают массой покоя: m₀  0. Поэтому для фотонов можно записать:

E  pc, или p  mc.

В заключение скажем несколько слов о основных законах природы, о которых мы говорили выше: о законах сохранения импульса, момента импульса, энергии. Согласно первому постулату Эйнштейна эти законы, так же, как и закон сохранения электрического заряда, в рамках СТО безусловно выполняются в любых инерциальных системах отсчёта. Кроме этого, следует отметить ряд параметров, которые должны оставаться неизменными при переходе от одной такой системы к другой (про них говорят, что они являются инвариантами по отношению к преобразованиям Лоренца).

К числу таких параметров относятся, например, скорость света в вакууме, масса покоя тела m₀ и связанная с ней энергия покоя E₀, а также выражение, которое следует из формулы (7.6) и отражает связь полной энергии тела и его импульса:

m₀²c⁴  E²  p²c².

Нетрудно убедиться, что условию инвариантности соответствует выражение, связывающее координаты x₁ и x₂ точки и моменты времени t₁ и t₂, в которые она имела эти координаты:

[c(t₂  t₁)]²  (x₂  x₁)²  [c(t₂  t₁)]²  (x₂  x₁)². (7.7)

В более общем случае, учитывая возможные изменения координат по всем трём осям X и Y и Z и используя следующее обозначение: (l)²  (x₂  x₁)²  (y₂  y₁)²  (z₂  z₁)², можно записать:

(ct)²  (l)²  (S)² (7.8)

Входящий в эту формулу параметр S называется пространственно-временным интервалом; о нём также можно сказать, что он является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца. Само существование такого инварианта является подтверждением того, что пространство и время не являются независимыми сущностями, а неразрывно связаны друг с другом.

7.2 Электростатика. Часть I

7.2.1 Закон сохранения электрического заряда и закон Кулона – основополагающие законы электростатики

Известно, что в природе существуют два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые – притягиваются. Положительный заряд приобретает, например, стеклянная палочка, натёртая шёлком; отрицательный – эбонитовая палочка, натертая шерстью. До натирания палочки являются электронейтральными, в процессе натирания заряды одного знака остаются на палочке, другого знака – переходят на шёлк или шерсть. При этом происходит перераспределение зарядов, новых зарядов не возникает, а существовавшие ранее не исчезают.

Общий заряд тела определяется избытком или недостатком в нём зарядов того или иного знака. Так, например, в металлах этот заряд определяется количеством элементарных носителей электрического заряда – свободных электронов, частиц, которые имеют массу m  9,110^31 кг и заряд e   1,610^19 Кл (заряд электрона принимается отрицательным). Заряд электрона – минимальный, который может иметь свободная частица.

Тела могут обмениваться электрическими зарядами, отдавая их или принимая, однако при этом, согласно закону сохранения, алгебраическая сумма зарядов тел, входящих в замкнутую систему, не меняется со временем.

q₁  q₂  …  q_i  …  q_N  const. (7.9)

Термин «алгебраическая сумма» означает, что при суммировании необходимо учитывать знаки зарядов (сумма может оказаться и положительной, и отрицательной, и равной нулю); под замкнутой здесь понимается система, которая не обменивается зарядами с окружающей средой.

Вторым основополагающим законом, лежащим в основе учения об электричестве, является закон Кулона, согласно которому (как мы это уже говорили ранее):

– разноимённо заряженные тела притягиваются друг к другу, одноимённо заряженные – отталкиваются;

– сила взаимодействия заряженных тел прямо пропорциональна произведению их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними;

– если тела – однородно заряженные шары, сферы или их можно считать точечными зарядами (см. рис. 7.1), формулу закона Кулона можно записать в виде

F  . (7.10)

В этой формуле ₀  8,8510^12 Ф/м – электрическая постоянная, q₁ – заряд первого тела, q₂ – заряд второго тела (на рис. 7.1 знаки зарядов противоположны), r – расстояние между центрами тел (шаров, сфер),  – диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся тела, F – сила их электростатического взаимодействия. Заметим: в полном соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению.

Закон Кулона – один из тех законов физики, которые не выводятся из каких-либо теоретических соображений, а отражают объективную реальность, и поэтому сами лежит в основе любых теорий, пытающихся объяснить «устройство» окружающего мира.

Закон Кулона можно применять и в тех случаях, когда заряженные тела не являются шарами, сферами или точечными зарядами. Пусть, например, одно из тел точечным считать нельзя. Тогда его необходимо мысленно разбить на N малых частей, для которых уже можно записать формулы вида (7.10), вычислить силы , действующие со стороны этих частей на второе заряженное тело, а затем вычисленные силы векторно сложить. Говорят, что в данном случае используется принцип суперпозиции: искомая результирующая сила

 .

Вычисления будут тем точнее, чем большим будет число N частей, на которые мы мысленно разбиваем первое тело; в предельном случае это число должно стремиться к бесконечности, а суммирование заменится интегрированием.

В общем случае подобные расчёты могут оказаться достаточно сложными, поэтому для нахождения сил, действующих на заряженные тела, в электростатике часто используют не сам закон Кулона, а формулы, в которых фигурирует вспомогательная силовая характеристика, называемая напряжённостью электрического поля.