При прямолинейном движении точки, например, вдоль оси X, будет одно уравнение движения:

X = f (t) (1.9)

Уравнения (1.7) и (1.8) представляют собой одновременно уравнение траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Чтобы получить уравнение траектории точки уравнения (1.7) или (1.8) решают совместно, исключая время t, поэтому уравнения траектории представляет собой зависимость между координатами точки:

X = f₁ (y) или Y = f₂ (x) (1.10)

Определение скорости и ускорения точки

Из рисунка 1.4 следует, что:

= x + y + z

тогда, используя выражение (1.4), получим, что вектор скорости точки

или

т.к. = V_x + V_y + V_z, получим, что

V_x =; V_y =; V_z =, (1.11)

где V_x, V_y, V_z – проекции вектора скорости V на оси координат, а x, y, z – проекции вектора на эти же оси координат, т.е. проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдём её модуль и направление (т.е. углы , , , которые вектор образует с осями координат), по формулам:

V= (1.12)

cos =; cos =; cos =. (1.13)

Вектор ускорения точки =, поэтому =, но т.к. = a_x + a_y + a_z, то

a_x =; a_y =; a_z =; (1.14)

Т.е. проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

Модуль и направление ускорения найдутся по формулам:

a = (1.15)

cos₁ =; cos₁ =; cos₁ = (1.16)

где ₁, ₁, ₁ – углы, образуемые вектором ускорения с осями координат.

Если движение точки происходит на плоскости, то в формулах (1.11), (1.12), (1.14), (1.15) должна быть отброшена одна из проекций; при прямолинейном движении будет:

V_х = (1.17)

1.3 Естественный способ задания точки

Данным способом задания движения удобно пользоваться в том случае, когда траектория движущейся точки известна заранее. В этом случае на траектории выбирают какую-нибудь неподвижную точку О за начало отсчёта и устанавливают на траектории положительное и отрицательное направление отсчёта. Тогда положение точки М на криволинейной траектории (рисунок 1.5) будет однозначно определяться криволинейной координатой S которая равна расстоянию от точки О до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком.

A -O+

В

z M

M₁

M₂

o y B

x

Рисунок 1.5

При движении точка М перемещается в положение М₁, М₂.., следовательно, расстояние S будет с течением времени меняться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени надо знать зависимость

S = f (t) (1.18)

Уравнение (1.18) выражает закон движения точки М вдоль траектории. Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать:

1. Траекторию точки; 2. Начало отсчёта на траектории; 3. Положительное и отрицательное направления движения; 4. Закон движения точки вдоль траектории: S = f (t).

Вычисление скорости и ускорения точки

В этом случае значение векторов и определяют по их проекциям не на оси системы отсчёта ОХУZ, как в предыдущих случаях, а на подвижные оси М τ n b, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с ней. Эти оси, называемые осями естественного трёхгранника, направлены следующим образом: ось Мτ – по касательной к траектории в сторону положительного направления отсчёта расстояния S; ось Мn – по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Мb – перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовывала с ними правую систему осей. Нормаль Мn – называется главной нормалью, а ось Мb – бинормалью (рисунок 1.6).

z

– О +

M

В

В

х

Рисунок 1.6

Скорость точки, направленная по касательной к траектории (рисунок 1.6) определяется только одной проекцией V_τ на ось M_τ, при этом V_τ = V или V_τ = -V: т.е. V_τ или совпадает с модулем скорости V, или отличается от V только знаком. Поэтому в дальнейшем будем обозначать скорость точки V и называть V – числовым (или алгебраическим) значением скорости.

Найдём значение V: если обозначить S – приращение координаты S при перемещении точки из положения М в М₁, то численно средней скоростью точки за этот промежуток времени будет

V_ср= или в пределе V = (1.19)

Вектор = (1.20)

Таким образом, числовое значение скорости точки в данный момент времени равно первой производной от расстояния (криволинейной координаты) S этой точки по времени.

Величина V одновременно определяет и модуль скорости, и сторону, куда она направлена.

Ранее было установлено, что ускорение точки направленно в сторону вогнутости траектории, т.е. в соприкасающейся плоскости M_τ. Следовательно, проекция на бинормаль Mb равна нулю (a_b=0). Найдём проекции на две другие оси, проектируя (1.6) на оси Mτ и Mn:

(1.21)

т.к. ;

где – кривизна траектории;

р – радиус кривизны траектории, который считаем положительным.

Получим разложение ускорения точки по осям естественного трёхгранника: (1.21) – называется касательным ускорением; (1.22) – называется нормальным ускорением.

– всегда направлен по касательной к траектории в данной точке по оси τ; – направлен в сторону вогнутости траектории, по оси ; ; (рисунок 1.7).

z

b

М

В

o y

x

Рисунок 1.7

Таким образом, ускорение точки

= + (1.23)

– измеряет быстроту изменения скорости по величине;

– измеряет быстроту изменения скорости по направлению.

M₁

N₂ =

= + V = const

Переменное криволинейное движение Равномерное движение по окружности

М

a= a_τ