- •Содержание
- •Раздел 1. Статика
- •1. Основные понятия статики
- •2. Основные аксиомы статики
- •3. Связи и их реакции
- •4 Система сходящихся сил на плоскости и в пространстве
- •5. Момент силы относительно центра. Пара сил
- •Пара сил
- •6 Приведение системы сил к центру. Условия равновесия
- •7. Плоская система сил
- •8 Статически определимые и статически неопределимые системы тел
- •Раздел 2. Кинематика
- •1. Кинематика точки
- •Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •При прямолинейном движении точки, например, вдоль оси X, будет одно уравнение движения:
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •2. Простые движения
- •3. Плоскопараллельное движение твёрдого тела
- •Раздел 3. Динамика
- •1. Динамика точки
- •1.1 Введение в динамику. Законы динамики. Основные понятия и определения
- •Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу m, а также начальные условия (начальное положение точки и ее начальную скорость) получить уравнение движения точки.
- •2 Динамика механической системы
- •3. Теорема о движении центра масс механической системы
- •4. Общие теоремы динамики
- •5. Теорема об изменении момента количества движения механической
- •6. Дифференциальные уравнения движения твердых тел и
- •7. Работа. Мощность. Кинетическая энергия. Теорема об изменении
- •Частные случаи
- •Примеры известных видов идеальных связей
- •Вопросы для самоконтроля
3. Теорема о движении центра масс механической системы
3.1 Дифференциальные уравнения движения механической системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой mк. Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных реакций связей) через , а равнодействующую всех внутренних сил – через (рисунок 3.1). Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики
. (3.1)
Уравнение (3.1) представляет собой дифференциальное уравнение движения кй точки. Проецируя векторы обеих частей равенства (3.1) на оси х, у, z; получим дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси:
Рисунок 3.1
. (3.2)
Для механической системы, имеющей n точек, получим 3n совместных дифференциальных уравнений движения. Так как внутренние силы, приложенные к точкам системы, в большинстве случаев остаются неизвестными, а число точек системы обычно велико, то эти 3n уравнений могут быть проинтегрированы лишь в исключительных случаях, поэтому используют другой способ для решения задач на движение системы тел.
3.2 Теорема о движении центра масс механической системы
В ряде случаев для определения характера движения системы (обычно твердого тела) требуется знать закон движения ее центра масс. Чтобы найти этот закон, составим уравнения движения для всех точек системы в виде (3.1) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим:
(3.3/)
преобразуем левую часть этого равенства. Из формулы (2.2.1) для радиуса-вектора центра масс имеем
.
Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме производных, найдем
или (3.3)
где - ускорение центра масс системы.
Так как по свойству внутренних сил системы , получим окончательно из равенства (3.3/), учтя (3.3)
(3.4)
т.е. произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
Уравнение (3.4) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Проецируя обе части векторного равенства (3.4) на оси х,у,z, получаем три уравнения в проекциях на оси координат:
(3.5)
Уравнения (3.5) представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс. Из уравнений (3.4) и (3.5) следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс, в связи с чем уравнения (3.4) и (3.5) имеют больше практическое значение.
Из кинематики известно, что поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Следовательно, решив задачу о движении центра масс тела как материальной точки массой, равной массе всего тела, можно определить поступательное движение всего тела.
Следствия из теоремы:
1. Если главный вектор внешних сил () остается все время равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Из (3.4) если , то , т.е. . При этом, если центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое. Если же , то центр масс движется равномерно и прямолинейно с этой скоростью.
2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо неподвижную ось остается все время равной нулю, то проекция центра масс механической системы на эту ось неподвижна или движется равномерно, т.е. если , то , т.е. ; если , то и . Следствия из теоремы о движении центра масс системы выражают закон сохранения движения центра масс системы.
Вопросы для самоконтроля
-
Сформулируйте теорему о движении центра масс системы.
-
Какое движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, имеющей массу данного тела. Почему?
-
При каких условиях центр масс системы находится в состоянии покоя, и при каких условиях он движется равномерно и прямолинейно?
-
При каких условиях центр масс системы не перемещается вдоль некоторой оси?