6. Дифференциальные уравнения движения твердых тел и

механических систем

6.1 Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого

тела

Р ассмотрим твердое тело совершающее поступательное движение. Твердое тело можно представить как механическую систему, на каждую точку которой действуют внешние силы .

Из теоремы о движении центра масс системы получаются дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Имеем:

Но при поступательном движении твердого тела ускорения всех точек тела одинаковы по модулю и направлению, т.е. , где - ускорение произвольной точки тела. Учитывая это, из теоремы о движении центра масс получаем следующие дифференциальное уравнение поступательного движения тела в векторной форме:

(6.1)

проецируя на оси координат, имеем:

. (6.2)

Выражения (6.2) представляют собой дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела в проекциях на прямоугольные оси координат. В этих уравнениях х,у,z являются координатами произвольной точки тела, в частности, могут быть координатами его центра масс.

Тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы, и поэтому можно составить три дифференциальных уравнения его движения. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела аналогичны дифференциальным уравнениям движения одной материальной точки. С помощью этих уравнений можно решать такие же задачи, как и для одной его точки.

6.2 Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг

неподвижной оси

И з теоремы об изменении кинетического момента (5.11) получим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Оz (рисунок 6.2) имеем

.

Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, согласно (5.8)

,

где I_z – постоянный для твердого тела момент инерции относительно неподвижной оси вращения; ω – угловая скорость. Учитывая это, получаем

(6.4)

или (6.5)

Если ввести угол поворота тела φ, то дифференциальные уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси можно записать в виде:

(6.6)

или

или .

Эти уравнения аналогичны дифференциальному уравнению поступательного движения тела в проекции на какую-либо ось, например, на ось z.

В дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси вместо координаты z входит угол поворота φ, вместо массы m – момент инерции относительно оси вращения. I_z, вместо суммы проекций внешних сил на ось Оz – сумма моментов внешних сил относительно оси вращения Оz.

Реакции подшипников и оси вращения являются внешними силами, но их моменты относительно оси вращения равны нулю, т.к. они параллельны оси (или ее пересекают). В частном случае, 1) если , то т.е. вращение тела происходит с постоянным угловым ускорением; 2) если , то ; , - это случай равномерного вращения тела по инерции без действия вращательного момента внешних сил.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела в общем случае позволяет решать две основные задачи: 1) по заданному вращению тела определить вращающий момент внешних сил; и 2) по заданному вращательному моменту внешних сил и начальным условиям находить вращение тела.

6.3 Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Используя теоремы о движении центра масс и изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс, получим дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

В плоскости движения центра масс тела, совершающего плоское движение, выберем неподвижную систему координат Ох₁у₁, относительно которой рассматривается движение, и движущуюся поступательно вместе с центром масс систему Сху (рисунок 6.3). Пусть х_С и у_С – координаты центра масс тела относительно неподвижной системы координат.

Тогда по теореме о движении центра масс получим два следующих дифференциальных уравнения плоского движения твердого тела:

,

г

Z

де m – масса тела.

Третье дифференциальное уравнение плоского движения твердого тела получим из теоремы об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс в проекции на подвижную ось Сz:

.

Плоское движение твердого тела можно считать состоящим из поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг подвижной оси Сz. Для случая вращения вокруг оси кинетический момент относительно этой оси вычисляется по формуле:

,

где ω – угловая скорость тела;

I_Cz – момент инерции тела относительно оси Сz.

Так как I_Cz является величиной постоянной, то после подстановки К_Cz в теорему об изменении кинетического момента в относительном движении получим:

или

где φ – угол поворота вокруг подвижной оси Сz.

Таким образом, для твердого тела, совершающего плоское движение и, следовательно, имеющего три степени свободы, получим три следующих дифференциальных уравнения:

(6.7)

С помощью этих уравнений можно решать две основные задачи: 1) по заданному плоскому движению твердого тела находить действующие на тело внешние силы и 2) по заданным внешним силам и начальным условиям определять его движение. При решении этих задач должны быть заданы масса тела m и его момент инерции.

Вопросы для самоконтроля

1. Записать дифференциальное уравнение движения центра масс механической системы.

2. При каких условиях центр масс механической системы находится в покое, и при каких условиях он движется равномерно и прямолинейно?

3. Записать дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

4. При каких условиях происходит равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси, и при каких условиях тело вращается с постоянным ускорением?

5. Сколько дифференциальных уравнений движения необходимо составить, чтобы описать плоское движение тела на плоскости и в пространстве?

6. Какие действия необходимо совершить, чтобы составить дифференциальное уравнение движения механической системы, состоящей из тел?