1.8.5. Взаимное расположение двух прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

Если две прямые пересекаются в некоторой точке К, то на основании свойства принадлежности (см. 1.1.3) проекции точки пересечения должны принадлежать проекциям прямых (рисунок 31а). То есть точки пересечения проекций прямых лежат на одной линии связи.

Если прямые параллельны, то на основании свойства параллельности (см. 3.3) одноименные проекции этих прямых также параллельны (рисунок 31б).

Если же прямые скрещиваются, то кажущиеся точки пересечения их проекций таковыми не являются, что видно на рисунке 31в. Здесь мы имеем дело не с одной точкой (пересечения), а с двумя парами конкурирующих точек А1=А2 и В1=В2.

Таким образом: взаимное положение двух непрофильных прямых определяется так –

• если проекции прямых параллельны, то прямые параллельны;

• если точки пересечения проекций лежат на одной линии связи, то прямые пересекаются; если же эти точки не лежат на одной линии связи, то прямые скрещиваются.

В случае, если прямые являются конкурирующими, то они не могут быть скрещивающимися, т.к. лежат в одной (проецирующей) плоскости. Их взаимное положение легко определяется на той проекции, где они не совпадают (рисунок 32). Здесь очевидно, что прямые l и m пересекаются в точке К, а прямые c и d параллельны.

Для определения взаимного положения профильных прямых следует построить третью, профильную их проекцию.

1.8.6. Взаимное расположение точки и плоскости. Взаимопринадлежность точки и плоскости

Точка может лежать в плоскости или быть вне ее.

Если точка лежит в плоскости общего положения, то ее проекции должны лежать на проекциях какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости.

Справедливо и обратное утверждение, если только вспомогательная прямая не является профильной.

Итак, если точка лежит на вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости, то она лежит в этой плоскости. Если же точка окажется вне прямой, то ее положение относительно прямой определяет и ее положение относительно самой плоскости.

Рассмотрим «прямую» (построение точки в плоскости) и «обратную» (определение по чертежу положения точки относительно плоскости) задачи.

Пусть плоскость задана треугольником АВС (рисунок 33). Покажем как задать какую-либо точку в этой плоскости.

Проще всего взять любую точку на какой-нибудь стороне треугольника, например точка М на стороне ВС. Для этого достаточно ее проекции задать на проекциях стороны ВС. Точка М, как лежащая на прямой ВС, принадлежащей плоскости, будет также принадлежать плоскости.

Для более общего задания точки, принадлежащей плоскости треугольника АВС, необходимо провести в плоскости произвольную прямую l, выделив для этого в плоскости две любые точки (например А и М). Теперь любая точка прямой l (например Е) будет принадлежать плоскости треугольника АВС.

Таким образом, построение точки в плоскости производится в два этапа: сначала в плоскости строится вспомогательная прямая, затем на этой прямой строится точка.

Можно, взяв одну проекцию точки произвольно, «привязать» ее к плоскости с помощью прямой, тогда вторая проекция определится однозначно. Выберем, например, произвольно фронтальную проекцию точки К (рисунок 33). Затем проведем в плоскости прямую m так, чтобы на фронтальной проекции она проходила через выбранную проекцию точки К. Прямая m определена точками С и N, принадлежащими плоскости треугольника. Построив вторую проекцию прямой m, в пересечении ее с вертикальной линией связи, проведенной из произвольно взятой фронтальной проекции точки К, найдем вторую (горизонтальную) проекцию точки К.

Для определения взаимного расположения точки и плоскости общего положения, следует провести на заданной плоскости вспомогательную прямую, конкурирующую с данной точкой и определить взаимное расположение точки и вспомогательной прямой.

Если точка будет принадлежать вспомогательной прямой, то она лежит в данной плоскости. Если же она окажется вне вспомогательной прямой, значит точка находится вне плоскости.

На рисунке 34 плоскость задана треугольником EDK. Определим положение точек М и N относительно плоскости.

Сначала определим положение точки М. Проведем в плоскости прямую l, горизонтально конкурирующую с точкой М. Для этого нужно, чтобы на горизонтальной проекции прямая проходила через точку М. А для того, чтобы прямая l принадлежала плоскости, необходимо, чтобы две ее точки принадлежали плоскости (на рисунке 34 это точки Е и 1). Так как и вторая проекция прямой l проходит через проекцию точки М, то точка М принадлежит прямой l, а значит и плоскости.

Теперь определим положение точки N относительно той же плоскости треугольника EDK. Для этого проведем на плоскости прямую m, фронтально конкурирующую с точкой N. Прямую m определяют на плоскости точки К и 2. По горизонтальной проекции определяем, что точка N находится вне прямой m, а значит и вне плоскости. Действительно, если бы горизонтальная проекция точки N лежала на прямой m (в месте, отмеченном крестиком), точка принадлежала бы прямой и плоскости. Но так как ее горизонтальная проекция находится ближе, то точка N расположена перед фронтально конкурирующей с ней точкой плоскости, а значит и перед самой плоскостью треугольника EDK.

Учитывая, что плоскость является восходящей (ее проекции ориентированы в одну сторону), нужно уточнить – точка N находится и над плоскостью.