5.4.2. Линейчатые поверхности с двумя направляющими

Рассмотрим некоторые из линейчатых поверхностей с двумя направляющими, у которых все образующие параллельны неподвижной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Ц

Рисунок 117

илиндроид образуется движением прямолинейной образующей t по двум криволинейным направляющим α и b, причем во всех своих положениях образующая t параллельна некоторой плоскости параллелизма Б (рисунок 117).

Д ля построения образующих на чертеже проводят ряд плоскостей, параллельных плоскости параллелизма и определяют точки их пересечения с обеими направляющими α и b. Плоскость Б в данном случае является горизонтально проецирующей. Обычно же для удобства построения образующих за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей проекций. В этом случае все образующие будут линиями уровня.

Коноид образуется движением прямолинейной образующей t по двум направляющим, одна из которых является кривой линией α, а другая – прямой b, при этом во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма (рисунок 118).

Если у коноида прямолинейная направляющая b перпендикулярна плоскости параллелизма, то коноид называется прямым.

К осая плоскость образуется движением прямолинейной образующей t по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим α и b, причем во всех своих положениях образующая t параллельна некоторой плоскости параллелизма (рисунок 119). На нашем рисунке плоскостью параллелизма является горизонтальная плоскость Г, а образующие t этой косой плоскости являются горизонталями.

Нужно отметить, что одну и ту же косую плоскость можно получить, если в качестве направляющих взять две любые образующие косой плоскости, а за плоскость параллелизма – плоскость параллельную направляющим α и b.

Поскольку в сечении косой плоскости можно получить помимо ее прямолинейных образующих , параболу и гиперболу, то эту поверхность называют так же гиперболический параболоид.

Косая плоскость является поверхностью второго порядка.

5.4.3. Линейчатая поверхность с тремя прямолинейными направляющими

Такую поверхность называют однополостным гиперболоидом. Частный случай этой поверхности – однополостный гиперболоид вращения – был рассмотрен в 30.1 и 30.3 (см. рисунки 105 и 110).

Алгоритм построения какой-нибудь образующей t однополостного гиперболоида , заданного тремя прямолинейными направляющими α, b и c (скрещивающимися и не параллельными одной плоскости), следующий. Выберем на направляющей α (рисунок 120) произвольную точку А. Затем через точку А и направляющую с проведем вспомогательную плоскость Д. Найдем точку пересечения плоскости Д с направляющей b– точку В. Точки А и В определят образующую t. Эта образующая пересечет и направляющую с в точке С, так как лежит в плоскости Д, проходящей через направляющую с.

Однополостный гиперболоид общего вида является поверхностью второго порядка.

5.5. Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка определяется как поверхность, пересекающаяся с произвольной плоскостью по кривой второго порядка, либо как поверхность, пересекающаяся с произвольной прямой в двух точках. При этом имеется в виду, что прямая не принадлежит поверхности.

Поскольку поверхности второго порядка широко применяются в технике, перечислим их, включая и те, которые были рассмотрены как поверхности вращения или как линейчатые поверхности.

Коническая поверхность второго порядка включает следующие виды: конус вращения (см. рисунок 104) и эллиптический конус, который может быть получен деформацией параллелей конуса вращения в эллипсы.

Цилиндрическая поверхность второго порядка включает виды: цилиндр вращения (см. рисунок 103), эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры. Эллиптический цилиндр может быть получен из цилиндра вращения деформацией его параллелей в эллипсы.

Эллипсоид включает виды: эллипсоид вращения (см. рисунок 108), сфера и трехосный эллипсоид, который можно получить деформацией параллелей эллипсоида вращения в эллипсы.

Параболоид включает виды: параболоид вращения (см. рисунок 109), эллиптический и гиперболический параболоиды. Эллиптический параболоид можно получить из параболоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы. Гиперболический параболоид (см. рисунок 119) является так же линейчатой поверхностью.

Однополостный гиперболоид включает виды: однополостный гиперболоид вращения (см. рисунок 110) и однополостный эллиптический гиперболоид, который можно получить из гиперболоида вращения деформацией параллелей в эллипсы либо движением прямолинейной образующей по трем прямолинейным направляющим (см. пункт 30.3).

Двуполостный гиперболоид включает виды: двуполостный гиперболоид вращения (см. рисунок 111) и двуполостный эллиптический гиперболоид, который может быть получен из гиперболоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы.

Нужно отметить, что все поверхности второго порядка (за исключением параболического и гиперболического цилиндров, а также гиперболического параболоида) могут пересекаться плоскостью по окружности.