3.4. Перпендикулярность прямой и плоскости

Так как прямая n, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости, то она перпендикулярна в том числе ко всякой горизонтали h и ко всякой фронтали f этой плоскости. Эта перпендикулярность сохраняется (см. 3.2) для горизонтали на горизонтальной проекции, а для фронтали – на фронтальной проекции (рисунок 57).

С

Рисунок 57

праведливо и обратное утверждение – если горизонтальная проекция какой-либо прямой n перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали h некоторой плоскости Д, а ее фронтальная проекция – перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали f этой плоскости, то прямая n и плоскость Д взаимно перпендикулярны. Действительно, т.к. прямая n перпендикулярна к двум прямым h и f плоскости Д, которые в общем случае являются пересекающимися прямыми плоскости Д, то она будет перпендикулярна и к самой плоскости.

В случае, когда плоскость Д является проецирующей плоскостью, нормаль n к плоскости будет прямой уровня. В этом случае перпендикулярность прямой и плоскости устанавливается по той проекции (виду), где плоскость “вырождается” в линию.

Таким образом,

прямая и плоскость общего положения перпендикулярны в том случае, когда проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих линий уровня плоскости, т.е. горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

Если плоскость является проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней, будет линией уровня и тогда их взаимная перпендикулярность сохраняется между «вырожденной» проекцией плоскости и соответствующей проекцией прямой.

Рассмотрим примеры построения перпендикулярных друг к другу прямой и плоскости.

Пример 1. Через точку А плоскости Б (ΔАВС) провести прямую n, перпендикулярную к плоскости (рисунок 58).

С начала строим в плоскости Б произвольные горизонталь h и фронталь f, а затем через проекции точки А проводим проекции искомого перпендикуляра n: на виде спереди (фронтальной проекции) перпендикулярно фронтали f, на виде сверху (горизонтальной проекции) перпендикулярно горизонтали h.

Е

Рисунок 58

Рисунок 59

сли точка , через которую требуется провести перпендикуляр к плоскости Б находится вне плоскости, построение перпендикуляра производится аналогично. Но учитывая, что основание перпендикуляра есть точка пересечения его с плоскостью, необходимо эту точку найти (см. 1.9).

Пример 2. Через точку А провести плоскость Д, перпендикулярную прямой n (рисунок 59).

Зададим плоскость двумя пересекающимися прямыми: горизонталью h и фронталью f. Проведем их через точку А согласно вышеописанному правилу – горизонтальная проекция горизонтали перпендикулярна горизонтальной проекции n, фронтальная проекция фронтали перпендикулярна фронтальной проекции n.

Пример 3. Построить проекции и определить натуральную величину перпендикуляра, опущенного из точки М на профильно проецирующую плоскость Е(α//b) (рисунок 60).

В

Рисунок 60

этом случае нужно использовать сохранение перпендикулярности между «вырожденной» проекцией плоскости и соответствующей проекцией искомого перпендикуляра. Следует построить профильные проекции точки М и плоскости Е. Опустив перпендикуляр из профильной проекции точки М на профильную («вырожденную» в линию) проекцию плоскости, найдем точку пересечения перпендикуляра с плоскостью (точка N) и его натуральную величину.