29. Сложная функция полученная путем композиции

композиция функций f и где ф. f- внешняя ф. композиции ф.,

– внутренняя.

Сложная функция может быть композицией большего числа функций: трех, четырех и т.д. Например, функция y=cos(x₂+1) - композиция двух функций y=cosu и u=x₂+1; функция y=lg(sin2x) – композиция трех функций.

Непрерывность сложной функции - Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(t₀). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t_0.

30. Обратная функция.

Обратная функция - функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. y=arcsinx

Свойства:

1. D(arcsin)=[−1;1]

2. E(arcsin)=[−π/2;π/2]

3. y=arcsin(x)-- непрерывная функция на D

4. y=arcsin(x)-- строго возрастает на D

5. Е(arcsin) симметричен Е(sin) относительно y=x

6. y=arcsin(x) нечетная на D функция т.е.

((х є [−1;1])(arcsin(−x)=−arcsin(х))

Теорема существования и непрерывность обратной функции

Теорема 1.

Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существует обратная функция x=f⁻¹(y), которая определена на множестве Y=f(X) и является на Y строго возрастающей (убывающей).

Доказательство.

По условию функция f строго возрастает на множестве X. Это значит для любых x₁,x₂ є X и x₁<x₂ следует f(x₁)<f(x₂).

Отсюда следует, что функция f обратима на X, значит для нее существует обратная функция f⁻¹:Y→X.

Покажем, что функция f⁻¹ строго возрастает на множестве Y. Пусть y₁ и y₂ - любые точки из Y и y₁<y₂. Докажем, что x₁=f⁻¹(y₁)<x₂=f⁻¹(y₂). Допустим, что x₁≥x₂. По условию функция f строго возрастает на X, поэтому из условия x₁≥x₂ вытекает неравенствоy₁=f(x₁)≥y₂=f(x₂), что противоречит условию y₁<y₂.

Т.о., условие строгой монотонности функции является достаточным для существования обратной функции.

Теорема 2.

Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке I, то существует обратная функция x=f⁻¹(y), которая определена на промежутке E_f=f(I) и является на Е, строго возрастающей (убывающей) и непрерывной.

Доказательство.

Для определенности предположим, что функция f строго возрастает на промежутке I. По следствию из 2-ой теоремы Больцано-Коши область значений E_f=f(I) непрерывной функции f тоже есть промежуток. В силу строгого возрастания функции f для каждого yєE существует единственная точка x є I такая, что f(x)=y. Следовательно для функции f существует обратная функция f⁻¹ определенная на промежутке Е и с множеством значений I.

Покажем, что f⁻¹ строго возрастает на Е. Пусть y₁ и y₂- две произвольные точки из Е, такие, что y₁<y₂ и прообразами этих точек будут точки x₁и x₂. f⁻¹(y₁)=x₁, и f⁻¹(y₂)=x₂.

Поскольку f - строго возрастающая функция, то неравенство y₁=f(x₁)<f(x₂)=y₂ возможно тогда и только тогда когда x₁<x₂ или тоже самое, когда f⁻¹(y₁)<f⁻¹(y₂). В силу произвольности y₁ и y₂ є E делаем вывод, что функция f⁻¹ - строго возрастает на множестве Е. Что и требовалось доказать.

Содержание

1. Множество действительных чисел. Основные структуры множества R.

2.Непрерывность множества R, аксиома Архимеда и теорема Кантора

3.Изображение R бесконечными десятичными дробями.

4. Модуль R и его свойства.

6.Ограниченое и неограниченное множество

7.Числовая функция. Способы задания

8.Свойства функций

9.Числовая последовательность. Способы задания, свойства, изображение числовой последовательности.

10.Предел числовой последовательности ее геометрический смысл

11.теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности

12.Понятие под последовательности

Теорема Больцано-Вейерштрасса.

14.Теоремы о пределе промежуточной последовательности.

15. Неравенство Бернулли. Число e и связанные с ним пределы.

16. Понятия, относящиеся к точечным множествам

17. Предел функции в точке и на бесконечности

18. Односторонние пределы

19. Бесконечно малая функция

20. Бесконечно малые функции

21.Арифметические свойства пределов

22.Теорема о единственности предела функции

23.Теорема о пределе промежуточной функции

24. Теорема о предельном переходе в равенстве, в неравенствах

25. Непрерывность функции в точке

26.Разрывы функции. Классификация точек разрыва. Точки устранимого разрыва.

27. Теорема о предельном переходе под знаком непрерывной функции.

28 Функции, непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса)

29. Сложная функция полученная путем композиции