6.Ограниченое и неограниченное множество

Из всего множества граней выбирают (наибольшую - sup), (наименьшую – inf ) - могут множеству принадлежать и не принадлежать

1.sup-точная верхняя грань (геометрически это значит, что правее точки М точек из данного множества нет, в т. M є U_ξ содержится хотя бы один элемент Х).

Множество X называется ограниченным сверху, если существует такое M є R, что выполняется неравенство.

Х - огр. сверху

(M-верхняя грань)

2.inf - точная нижняя грань (геометрически это значит, что левее точки m точек из данного множества нет, в т. m є U_ξ содержится хотя бы один элемент Х).

Множество X называется ограниченным снизу, если существует число m, такое что из любого элемента x є X, выполняется x ≥ m.

Х - огр. снизу

(m-нижняя грань)

Х - ограниченное множество, если существуют такие числа m, M что для любого элемента множества выполняется неравенство

m ≤ x ≤ M.

Х - огр. множество

7.Числовая функция. Способы задания

область определения функции – х

множество значения функции – у

Если каждый элемент множества х соответствует единственный элемент множества у, то говорят, что на множестве Х задана функция, принимающая значения на множестве у

Способы задания функции:

1.аналитический - указывает формулу, из которой вычисляется значение функции х є Х

2.табличный – в таблице указываются значения переменных х и вычисляются промежуточные значения по функции у

3.неявный – с помощью соответствиями между х у, если связаны формулой, но зависимая переменная у не выражена через х. (уравнение Эллипса)

4.словестный:

– Не формула

– функция целая часть от х

– функция дробной части от х

5.графический – график называется множество точек -(2 измерения)

Свойства:

• 

• 

8.Свойства функций

ЧЕТНОСТЬ. Множество называется симметричным относительно 0, если с каждым его элементом х ему принадлежит и число –х.

Функция называется четной, если:

а) D(у) симметрична относительно 0

б) f(-x) = f(x)

ПР: у=х²

Функция называется нечетной, если:

а) D(у) симметрична относительно 0

б) f(-x) = -f(x)

ПР: у=sin x

ОГРАНИЧЕННОСТЬ. Функция f(х) называется ограниченной на множестве Х, если существуют числа m и M є R, такие что для любых х из множества Х выполняется неравенство m ≤ f ( x ) ≤ M. (ПР: у=arctg x )

Функция f(х) – ограничена снизу:

ПР: у=х² , m=0

Функция f(х) – ограничена сверху:

ПР: у=-е^х,М=0

Функция f(х) называется неограниченной на множестве Х, если существуют числа m и M є R, такие, что для любых х из множества Х выполняется неравенство f(x) < m V f(x) > M. (ПР: у=х^-1 )

ПЕРИОДИЧНОСТЬ.

Функция f(х) называется периодической, если существует такое число ι, что вместе с каждым х є D(у), число х ± ι так же входит в область определения функции.

f(х ± ι) = f(х)

Число ι – период функции.

ПР: у = sin x, ι = π

9.Числовая последовательность. Способы задания, свойства, изображение числовой последовательности.

Числовой последовательностью (ЧП) называется функция, определенная на множестве натуральных чисел и принимающая значения во множестве чисел.

x_n –общий член последовательности.

ЧП считается заданной, если указано правило нахождения любого члена последовательности по его номеру. Примером ЧП могут служить арифметическая и геометрическая последовательности.

ЧП называется возрастающей (убывающей), если для любого номера выполняется неравенство: x_n<x_n+1

ЧП называется ограниченной, если существует такое положительное число n, что для любого n выполняется неравенство: x_n≤M

 x_n -огран., (M>0)( nN)^ I x_n I<M

Геометрически, это значит, что на числовой прямой члены последовательности располагаются на промежутке конечной прямой.

 x_n -неогран., (M>0)( nN)^ I x_n I>M

Геометрически это означает, что члены последовательности нельзя заключать в промежуток конечной длины.

Изображаются члены числовой последовательности точками на числовой прямой или на плоскости XOY.

ПРИМЕР:

 x_n =(-1)ⁿ/n; nN =  -1,1/2,-1/3,1/4,-1/5…(-1)ⁿ/n 

I x I≤1-ограниченная

Все члены последовательности располагаются  nN: x_n -1;1/2