16. Понятия, относящиеся к точечным множествам

1. точка х₀ є Х называется внутренней точкой множества Х, если существует окрестность т. _х0 целиком состоящая из точек множества Х.

2. точка х₀ называется граничной точкой множества Х, если любая окрестность т. _х0 содержит как точки множества Х так и ему не принадлежащие.

3. точка х₀ є Х называется изолированной точкой множества, если существует окрестность т. х₀ не содержащей ни одной точки множества Х кроме самой т. х₀.

4. точка м называется внешней точкой множества Х если существует окрестность т. _х0 не содержащей ни одной точки множества Х

5.т. _х0 называется предельной точкой множества Х, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества Х отличную от _х0

• предельная точка множеству может принадлежать и не принадлежать

• любая окрестность т. _х0 содержит бесконечно много точек множества

• внутренние и граничные точки также являются предельными, они называются точками прикосновения данного множества

6. Х называется замкнутым, если содержит все свои предельные точки или совсем их не имеет

7. Х называется открытым, если все его точки внутренние, поэтому его множеством является интервал

8. Замыканием множества называется присоединение к нему всех его придельных точек. Каждая точка на числовой прямой предельна для множества целых чисел Q=R

17. Предел функции в точке и на бесконечности

Пусть дана функция на множестве у=f(x), D(f)=X. _х0 –предельная точка множества Х, она может множеству принадлежать, а может не принадлежать

1.число А называется пределом функции f в т. х₀ , это значит

• - _х0 –предельная точка множества

• - для любой ε окрестности, числа А найдется δ- окрестность точки х₀ , такая что для каждого x є X принадлежащего δ- окрестности точки _х0 и отличного от _х0 соответствующее значение функции f(x) находится в ε- окрестности числа А

Определение на языке эпсилон

2.

число А является пределом функциив т. _х0 , это значит

• х₀ –предельная т. Х

• для любого положительно числа ε найдется такое положительное число δ, что для любого х є Х удовлетворяется неравенство и могут быть отличны от х₀ выполняется неравенство

18. Односторонние пределы

Функция имеет предел в т. х₀ в обычном смысле тогда и только тогда когда существуют равные между собой правый и левый пределы этой функции в т. _х0

19. Бесконечно малая функция

Называется функция, предел которой в точке _х0 или на бесконечности является число 0

Свойства бесконечно малых функций

1. Сумма конечного числа б.м. в т. _х0 функций есть функция б.м. в т. х_0. (Теорема верна не всегда для случая бесконечного числа б.м. функций)

2. Произведение конечного числа б.м. в т. х₀ функций есть функция б.м.

3. Произведение числа на б.м. функцию в т. х₀ есть б.м. функция в данной точке

4. Разность двух б.м. функций есть функция б.м. в этой точке

5. Произведение функций ограничено в т. _х0 на функцию б.м. в т. _х0 есть функция б.м. в этой точке

20. Бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых функций

1. Пусть даны L и β – б.м. в т. х₀ функции

Если отношение б.м. L и β в т. _х0 равно числу А, где А≠0≠1, то L и β называются б.м. одного порядка в т. _х0 (ф-и стремятся к нулю со скоростями отличающимися порядковым номером)

2. Б.м. L – называется б.м. более высокого порядка чем β, если предел их отношений в т. _х0=0

(L стремиться к 0 быстрее чем β)

3. L и β называются эквивалентными б.м. в т. _х0 если предел их отношений в этой т. равен 1, а это значит их скорости равны

4. Если б.м. L и β вк степени, есть величины одного порядка в т. _х0 то б.м. L называется величиной к-ого порядка относительно β

Замечательные пределы

Эквивалентные функции (при вычисление пределов возможно заменять одну б.м. функцию другой)