28 Функции, непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса)

Теорема о промежуточных значениях

Теорема1. (Больцано-Коши)

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b],причем f(a) = f(b). Тогда для любого числа C,заключенного между f(a) и f(b) найдется точка

y є (a,b), что f(y) = C

Доказательство.

Пусть, например, f(a)= A<B = f(b) и A<C<B.

Функция g(x)= f(x) − C, очевидно, непрерывна на [a,b].Кроме того,

g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка y є (a,b), что g(y)=0. Разделим отрезок [a,b] точкой x₀ на два равных по длине отрезка. Тогда, либо g(x₀)=0 и, значит, искомая точка y = x₀ найдена, либо g(x₀) ≠ 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше.

Обозначим этот отрезок [a₁,b₁] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ)=0,либо получим последовательность вложенных отрезков [a_n,b_n] по длине стремящихся к нулю и таких, что

g(a_n) < 0 <g(b_n) (1)

Пусть γ –общая точка всех отрезков [a_n,b_n], n =1, 2,....

Тогда γ =lim a_n =lim b_n. Поэтому, в силу непрерывности функции g

g(γ)=lim g(a_n)=lim g(b_n) (2)

Из (1) находим, что

lim g(a_n) ≤ 0 ≤lim g(b_n) (3)

Из (2) и (3) следует, что g(γ)=0.

Следствие1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса

Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β =sup_E f (α =inf _Ef), если существует такая точка x₀ є E, что f(x₀)= β (f(x₀)= α).

Теорема2. (первая теорема Вейерштрасса)

Если f непрерывна на [a,b],то она ограничена на нем, т.е. существует

такое число M,что |f(x)| ≤M, при всех x є [a,b].

Доказательство.

Допустим противное, что f неограниченна на [a,b]. Тогда для n є N найдется на [a,b] точка x_n такая, что

|f(x_n)| > n. (4)

По теореме Больцано - Вейерштрасса, из последовательности {x_n} можно выделить подпоследовательность {x_nk}, имеющую конечный предел lim _n→∞x_nk = x₀, причем очевидно a ≤ x₀ ≤ b. В силу непрерывности функции f имеем lim _n→∞x_nk = f(x₀),а это невозможно, так как из (4 ) следует, что . Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема3. (вторая теорема Вейерштрасса)

Если f непрерывна на [a,b],то она достигает на нем своей верхней и

нижней грани.

Доказательство. φ

Пусть M =sup_[a,b]f.

В силу предыдущей теоремы M –конечное число.

Допустим, что f(x) <M при всех x є [a,b], т.е. верхняя грань не достигается. Тогда рассмотрим вспомогательную функцию

φ (x)= 1/M − f(x)

Так как знаменатель в ноль не обращается, то φ будет непрерывной на [a,b] функцией, а значит, по предыдущей теореме она будет ограничена на [a,b]: φ (x) 6 γ,где γ є R, γ> 0.Но отсюда находим, что 1/M − φ (x)≤ γ, M − f(x) > 1/γ, f(x) ≤ M – 1/γ для всех x є [a,b] , т.е.число M – 1/γ оказывается верхней границей для f - чего быть не может, ибо M есть наименьшая из верхних границ. Полученное противоречие доказывает, что в [a,b] находится точка x₀ такая, что f(x)₀ = M. Аналогично доказывается утверждение о достигаемости нижней грани.