3.Изображение r бесконечными десятичными дробями.
Число и множество – основные понятия, они неопределяемые.
Числа изображаются точками на прямой.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка на прямой и наоборот: каждой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число.
Соответствие между действительными числами и точками числовой прямой является взаимооднозначным.
Действительные числа часто называют точками, а точки – числами
Каждое действительное число x из множества R единственным образом можно представить в виде бесконечной десятичной дроби: x=a0,a1a2a3a4…an
При этом рациональные числа (Q) изображаются в виде бесконечной периодической дроби, а иррациональные (J) в виде бесконечной непереодической дроби
Примеры:
-
J,
=1,4142… -
Q,
=0,6666…=0,(6) -
Q, 1=1,000…=1,(0)
Любое целое число или конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной, приписав бесконечное число нулей.
4. Модуль r и его свойства.
Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число: |а| = а
Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: |а| = - а
Записывают так:
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
Модуль числа 5 равен 5 так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5
Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6
Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а| = |а|
Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:
|0| = 0
На практике используют различные свойства модулей:
|а| · 0 = 0
|а·b| = |а| · |b|
|а|n = аn , n є Z, a ≠ 0, n > 0
|а| = | - а|
|а + b| = |а| + |b|
|а·q| = q·|а|, где q - положительное число
|а|2 = а2
Значение |a - b| равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.
Пример 1.
, т.к.
<
0 ;
,
т.к.
<
0
Пример 2.
Упростить выражение
,
если a
< 0.
Так как по условию
а < 0, то |а| = -а. В результате получаем
Ответ:
5. Окрестности конечных и бесконечно удаленных точек. Аксиомы окрестностей.
Окрестностью т. Х радиуса r называется множество точек расстояние от каждой из которых до т. Х0 меньше, чем r.
Окрестности бесконечно удалённых точек:
В математике встречается понятие актуальной бесконечности, т.е. бесконечности без различия знаков.
Аксиомы отделимости
T — аксиома Колмогорова
Для любых двух различных точек x и y по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.
T1 — аксиома Тихонова
Для любых двух различных точек x и y должна существовать окрестность точки x, не содержащая точку y и окрестность точки y, не содержащая точку x.
T2 — аксиома Хаусдорфа
Для любых двух различных точек x и y должны найтись непересекающиеся окрестности U(x) и V(y).
T3
Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нем точки существуют их непересекающиеся окрестности.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3, называются регулярными пространствами.
T3½
Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нем точки существует непрерывная числовая функция, равная нулю на множестве и единице в точке. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами.
T4
Для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T4, называются нормальными пространствами.