- •Модуль 2. «прямая и плоскость»
- •Какое уравнение называется
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Какое уравнение называется
- •Каков геометрический смысл коэффициентов каждого из перечисленных в пунктах 1-2 уравнений прямой?
- •Какое уравнение называется
- •Запишите условия
- •Сколько существует для заданной прямой
- •Лабораторная работа №6. Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
-
Запишите условия
а) совпадения двух плоскостей;
б) параллельности двух плоскостей;
в) пересечения двух плоскостей;
г) перпендикулярности двух плоскостей.
(Рассмотрите различные сочетания способов задания двух плоскостей).
-
Как вычислить расстояние от точки М0(х0;y0;z0) до заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости с помощью уравнений из пунктов 1–2)?
-
Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения плоскости, которая
а) параллельна координатной плоскости 0xz
б) параллельна оси ординат;
в) проходит через начало координат?
-
Пусть плоскость задается уравнением Ax+By+Cz+D=0. Запишите условие принадлежности двух точек М1(х1;y1;z1), М2(х2;y2;z2) одному полупространству, определяемому этой плоскостью.
Примеры: 1. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей точки М1(1;2;3), М2(0;4;1), М3(3;1;1)
Р е ш е н и е: Векторы , являются направляющими для данной плоскости. Значит, точка М(х;у;z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы ,, компланарны, что эквивалентно тому, что
их смешанное произведение равно нулю, т. е.. Отсюда получаем или (рис.3).
О т в е т:
2. Запишите параметрические уравнения плоскости, содержащей точки .
Р е ш е н и е: При таком способе задания плоскости сразу записывается ответ в виде параметрических уравнений: берем в качестве начальной точки этой плоскости, например, точку , в качестве направляющих векторов, например, векторы и Тогда получим (рис.3).
О т в е т: .
3. Запишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(1;–2;3) и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой величины.
Р е ш е н и е: Уравнение искомой плоскости удобно здесь находить в виде уравнения в отрезках: . Исходя из геометрического смысла коэффициентов этого уравнения и условия задачи, имеем, что a=b=c. Учитывая, что точка М0 лежит на этой плоскости, находим а:. Таким образом, получим
О т в е т: .
4. Запишите общее уравнение плоскости , , .
Р е ш е н и е: : Из геометрического смысла коэффициентов параметри ческих уравнений плоскости получаем, что точка М0(1;2;1) принадлежит этой плоскости, а векторы , параллельны ей. Но тогда вектор
будет ортогонален этой плоскости. Поэтому общее уравнение этой плоскости можно задать в виде:
. Подставляя в это уравнение координаты точки , вычислим :
. Отсюда . Следовательно,
О т в е т: (рис.4).
5. Выясните, которая из координатных плоскостей принадлежит пучку, определяемому плоскостями и .
Р е ш е н и е: Как известно, уравнение любой плоскости этого пучка может быть записано в виде: или (**),
где и одновременно не равны нулю.
Так как любая из координатных плоскостей проходит через начало координат, то должно быть, что . Отсюда , но тогда из уравнения (**) получаем или , так как .
О т в е т: .
6. Напишите уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями и .
Р е ш е н и е: Искомые плоскости – множество точек, равноудаленных от заданных плоскостей.
Пусть - точка этих искомых плоскостей .
Тогда , что эквивалентно
. Раскрывая модуль, получим два линейных уравнения: 1) или ; 2) или . Эти уравнения и задают искомые плоскости.
О т в е т: и .
по теме “ПЛОСКОСТЬ”
-
Дана плоскость .
1) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости.
2) Укажите какой-либо направляющий вектор этой плоскости.
3) Принадлежит ли точка заданной плоскости?
4) Найдите величины отрезков, отсекаемых этой плоскостью на координатных осях.
5) Выпишите какие-либо параметрические уравнения заданной плоскости.
6) Вычислите расстояние от точки М(2;0;1) до заданной плоскости.
7) Лежат ли точки и в одном полупространстве, определяемом заданной плоскостью?
8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью
x+3y+2z-7=0.
-
Вычислите значение параметра D, при котором плоскость
x-3y+4z+D=0 проходит через точку М(4;1;0).
-
Вычислите значение параметров А и С, при которых плоскости x+5y-7z+1=0 и Аx-10y+Cz-7=0 параллельны
-
Запишите множество, задающее все плоскости, параллельные вектору.
-
Дана плоскость x=2-u+3v, y=u+v, z=3-u.
1) Укажите два какие-либо неколлинеарные направляющие векторы этой плоскости.
2) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости.
3) Установите, лежит ли на этой плоскости точка М(4;2;2).
4) Запишите какое-либо общее уравнение этой плоскости.
5) Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно заданной плоскости.
6) Запишите для заданной плоскости уравнение в отрезках.
7) Вычислите расстояние от точки до заданной плоскости.
8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью
4x+y+3z-1=0.
-
Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .
ПРЯМАЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы
-
Какие уравнения называются
а) параметрическими уравнениями прямой;
б) каноническими уравнениями прямой?
-
Каков геометрический смысл коэффициентов
а) параметрических уравнений прямой;
б) канонических уравнений прямой?