Вопрос 10. Угол между двумя плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (10)

Пусть даны 2 непересекающиеся плоскости:

А1х+В1у+С1t+D1=0 (1)

A2x+B2y+C2t+D2=0 (2)

Угол между плоскостями равен углу ℓ(фи),

Между векторами ň1(A1?B1?C1) ň2(A2,B2,C2)

И определяется по формуле:

cos ℓ(фи)= A1A2+B1B2+C1C2

(3)

Если ℓ(фи)=П/2, то получ равенство:

А1А2+В1В2+С1С2=0

Формула следует из условия перпендикулярных векторов ň1 и ň2.

Если плоскости 1 и 2 параллельны, то вектора будут КОЛАНЕАРНЫМИ (одинак направление но разная длина)

А1/А2=В1/В2=С1/С2 (условие параллельности двух плоскостей)

А1/А2=В1/В2=С1/С2=Д1/Д2 (плоскости совпадают)

Вопрос 30. Непрерывность функции имеющей производную(36)

Т:Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: Дано lim _x→0 y \ x

Рассмотри т.х. придадим аргументу х прирощение х, тогда функция получит прирощение у

Можно записать : у= ℓ(фи)\ х* х

Предел в этом равенстве к пределу

lim _x→0 Ay= lim _x→0 y\ x lim _x→0 x = y’*0=0

lim _x→0 y=0

Обратная теорема неверна, т.к можно привести пример функции которая непрерывна в точке, но не дефференинируема

f(y)

Пример :

f(x)=|x|= x,x>=0

-x,x<0

0 X

Исследуем точку х=0

Левый предел равен правому и равен значению функции в этой точке => в точке х=0 функция непрерывна f(0-0)-f(0+0)=f(0);x=0

Из чертежа видно, что в точке х>0 нельзя провести касательную,и нет общего положения

Следовательно функции в точке х=0 не имеет производной, то есть недеферинируема

Уравнение прямой и плоскости.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пресечения двух плоскостей, следоват., общим уравнением прямой служат два уравнения первой степени, составим систему уравнений:

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0

Координаты точек прямой будут удовлетворять обоим уравнениям только в том случае, если , то они коллинеарны (не нулевой вектор).

∣∣ прямой называется направленным вектором этой прямой. Если M0(x0,y0,z0) € прямой и задается направлением , то

_{каноническое уравнение прямой в плоскости, проходящую ыерез точку} M0 в направлении

_{Угол между прямой и плоскостью называется угол α,} образованный прямой и ее проекцией на плоскость

Вопрос 37

Производная сложной функции

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем 

h’(x₀) = g’(f(x₀))•f’(x₀) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что 

при Δx→0. Введем обозначения: 

Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀)= Δf

Тогда Δh = h(х₀ + Δх) - h(x₀) = g(f(x₀ +Δx)) - g(f(x₀)) = g(y₀ + Δy) - g(y₀) = Δg.  Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x₀.  Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х₀. Тогда 

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x₀) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y₀) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.