Вопрос 18.

Векторное пространство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

Определение Векторное пространство Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа. В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям:  1) х + у = у + х (перестановочность сложения);  2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);  3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x; 4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0, 5) 1*х=х 6) a(bx) = (ab) х (ассоциативность умножения); 7) (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);  8) a(х + у) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

Совокупность всех n-мерных векторов, рассматриваемая с определенными вней операциями сложения и умножения на число, подчиняющимся пунктам 1-8, называется n-мерным линейным векторным пространством. Если координаты векторов – вещественные числа, то пространство называют арифметическим и обозначают R в степени n. Ненулевые векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда вектор b = αā, где α≠0. Это означает, что у коллинеарных векторов их одноименные координаты пропорциональны : а1/b1=…= a n-ное/ b n-ное = α

Вопрос № 20: свойства линейной зависимости

Теорема 1: если система векторов ā ₁, ā ₂…, ā_n содержит вектор, то она линейно зависима

Теорема 2: если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима

Теорема 3:диагональная система линейно независима

Доказательство: согласно определению (метод Гауса: решения уравнений могут быть использованы для выявления линейной зависимости m-мерных векторов), теорема будет доказана, если мы установим, что равенство:

λ₁ā ₁+ λ₂ā₂+ λ_Rā _R=0

это равенство имеет место лишь при условии

λ₁=λ₂=…=λ_R=0

т.к. равенство

b‾₁ = (b₁₁, b₁₂…b_1R..b_1n)

b‾₂ = (, b₂₂…b_2R..b_2n)

b‾_R =(0,…0…b_RR…b_Rn) означает равенство из одноименных координат, то вместо одного векторного уровня (λ₁ā ₁+ λ₂ā₂+ λRā _R=0) можно записать систему n-линейных уравнений

λ₁*β₁₁=0

λ₁*β₁₂ + λ₂β₂₂ = 0

λ₁*β_1R + λ₂β_2R +…+ λ_R*β_RR = 0

…..

λ₁*β_1m + λ₂β_2m +λ_R+ λ_R*β_Rm = 0

т.к. b₁₁ ≠ 0 (по условию ), то из первого уравнения системы получаем, что λ₁=0, тогда второе уравнение системы принимает вид λ₂β₂=0, т.к. b₂=0

получаем, что λ₁=0, тогда из R-ого уравнения получаем, что λ_R=0, равенство λ1ā ₁+ λ₂ā₂+ λ_Rā _R=0 возможно только тогда, когда все коэффициенты =0

теорема 4: любой вектор ā принадлежит R_n может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации единичных векторов.

Доказательство: пусть вектор ā=(λ₁, λ₂…λ_R) его можно представить так:

ā=(λ₁, 0…0) + (0, λ₂…0)+..+(0,0…λ_n)=λ₁(1;0, …0) + λ₂ (0, 1,1…0)…+λ_n (0, ..0,1)

вынести компоненты

λ₁ē₁ + λ₂ē₂+…+ λ_nē_n

т.о. ā= λ₁ē₁ + λ₂ē₂+…+ λ_nē_n

докажем единственность разложения

предположим, что существует другое разложение вектора по единичным векторам

ā= λ₁ē₁ + λ₂ē₂+…+ λ_nē_n

вычтем предыдущие выражения

Ō = (λ₁-λ₁ʹ) ē₁ + (λ₂-λ₂ʹ)ē₂…+(λ_n-λ_nʹ)ē_n

Система векторов ē, ē₂…ē_n линейно независима. Следовательно предыдущее равенство имеет место в случае, когда

λ₁-λ₁ʹ=0

λ₂-λ₂ʹ=0

λ_n-λ_nʹ=0

т.е. при условии λ₁ = λ₁ʹ, λ₂=λ₂ʹ…λ_n=λ_nʹ

теорема 5: в пространстве Rn любая система состоящая более чем из n векторов линейно зависима R²

ā₁=(2,1)

ā₂=(3,2)

ā₃=(2,4)