15.Обратная матрица. Алгоритм её решения.

1. Обратная матрица.

Если определитель квадратной матрицы А равен нулю, то матрица называется особенной или вырожденной.

Если определитель квадратной матрицы А неравен нулю, то матрица называется неособенной или невырожденной.

Матрица А^-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если произведение АА^-1=Е или А^-1А=Е, где Е - единичная матрица.

Найдем конкретный вид обратной матрицы:

1. Заменим в квадратной невырожденной матрице А каждый элемент его алгебраическим дополнением a_ijA_ij.

2. Протранспонируем полученную матрицу А_ijA_jiA_c.

Матрица называется союзной (присоединенной) для матрицы А.

3. Разделим полученную союзную матрицу на определитель .

.

Докажем, что формула дает нам обратную матрицу. Для этого составим произведение АА^-1=С. С=Е

41. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция у=f(x) определена в области х и в точке хх имеет конечную производную

проведём к графику функции т. М(х,у) касательную МТ, угол наклона касательной обозначим через . Аргументу т. Х придадим приращение х . Фунуция у полученного приращения у= АМ1. Из прямоугольного треугольника АМВ: АВ= АМ*,АВ=f”(x).

По определению дифференциала f”(x)*х*dy AB= dy. По рисунку значению х соответствует координата кос. у, а значение х+х соответствует ордината кос. у+АВ АВ- приращённая ординаты касательной.

Т.о. приращение ординаты кривой- приращение функции у, а приращение ординаты касательной- дифференциал функции dy.

Правила вычисления дифференциалов:

1. 

2. 

3. 

4. 

Вопрос 17

Алгебраические уравнения первой степени называются линейными уравнениями.

Простейшие линейные уравнения с одним неизвестным имеют вид ах=в, а-коэффициент при неизвестном, в-свободный член.

Сис-му m-линейных уравнений с n-неизвестными можно записать:

А₁₁Х₁+А₁₂Х₂+…+А₁ nХ₁=В₁

А₂₁Х₁+А₂₂Х₂+…+А_2nХ_n=B₂

….. – это все в фигурной скобке(4.1)

А_m1Х₁+А_m2Х₂+…+А_mnX_n=B_m

Или в матричной форме:

(а11 а12 … а1n (x1 (b1

a21 a22 … a2n * x2 = b2

…. … …

am1 am2 … amn) xn) b m)

Система (4.1) называется совместной (разрешимой), если она

имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной (неразрешимой).

Совместная система называется определенной, если она имеет

единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Расширенной матрицей системы (4.1) называется матрица

получаемая из матрицы A добавлением к ней справа столбца свободных членов.

Метод Гаусса применяется для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными, заданной в общем виде (4.1). Этот метод иначе называют методом последовательного исключения неизвестных.

Элементарными преобразованиями системы (4.1) называются:

1) перемена местами любых двух уравнений системы;

2) умножение обеих частей какого-либо из уравнений системы на число λ ≠ 0;

3) прибавление к одному из уравнений другого уравнения, умноженного на произвольное число λ ;

4) удаление из системы уравнения вида 0*x1+0*x2+….0*xn=0

Метод Гаусса состоит из двух частей: прямого и обратного хода.

В результате прямого хода система приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида с помощью элементарных преобразований (если при этом процессе не обнаружится несовместность системы). Второй этап решения задачи, называемый обратным ходом, состоит в последовательном нахождении значений неизвестных Xn, Xn-1,…,X1− из полученной в результате прямого хода системы специального вида.

Существуют различные методы приведения матрицы к ступенчатому виду. Для ручного счета удобны правила Гауссова исключения, реализуемые с помощью так называемого разрешающего элемента, который при вычислениях заключается в рамку и всегда должен быть отличен от нуля. Первый шаг (исключение неизвестной х 1) прямого хода выполняется с разрешающим элементом а11 ≠ 0, второй

шаг (исключение неизвестного х2 ) с помощью '

а22 ≠ 0 ( если ' а22 = 0,

то надо переставить уравнения так, чтобы оказалось ' а22 ≠ 0 , а если

все '

а22 , i = 2,m, то пытаемся исключить неизвестную 3 x и т.д.). Пересчет элементов матрицы выполняется по следующим правилам:

1) элементы разрешающей строки и всех выше расположенных

строк остаются неизменными;

2) элементы разрешающего столбца, находящиеся ниже разрешающего элемента, обращаются в нули;

3) все прочие элементы матрицы вычисляются по правилу прямо-

угольника; преобразованный элемент '

ij а новой матрицы равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.