- •Вопрос7.
- •Вопрос33.
- •2. Пример
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10. Угол между двумя плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (10)
- •Вопрос 30. Непрерывность функции имеющей производную(36)
- •Вопрос 37
- •15.Обратная матрица. Алгоритм её решения.
- •41. Геометрический смысл дифференциала
- •Вопрос 17
- •Вопрос 21
- •Вопрос 23.
- •26. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними,(с доказательством)
- •27. Свойства бесконечно малых последовательностей (доказательство)
- •32 Вопрос
- •6 Вопрос
- •35.Понятие производной функции в точке. Односторонние и бесконечные производные.
- •38. Производная обратной функции. ( с доказательством)
- •8.Эллипс(!!!!Это не надо!!!!)
- •8.Эллипс. (Каноническое уравнение с выводом)
- •34,Точки разрыва и их классификация
- •Вопрос 3.( Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении)
- •Вопрос29 (Теоремы о пределах последовательностей. Доказать 1-ую часть теоремы)
- •Вопрос 5. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямой.
- •Вопрос 31. Теоремы о пределах для функций.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 18.
- •Вопрос 4
- •Вопрос 30
38. Производная обратной функции. ( с доказательством)
Пусть функция y=f(x) (1), задана на множестве х (большая), а у – множество её возможных значений тогда каждому х€ Х ставится в соответствие единственное значение у€У с другой стороны каждому у€У будет соответствовать одно или несколько значений х€ Х. В случае, когда каждому у€У соответствует только одно значение х€ Х, для которого f(x)=у на множестве У можно определить функцию х=g(y) (2) множеством значений которого является множество х. Функцию (2) называют обратной по отношению к 1-ой. Функции (1) и (2) – взаимообратные функции.
Обозначают обратную функцию х= (y).
T.1: Если функция y=f(x) определена строго монотонно и непрерывна на отрезке [a,b], то обратная функция х= (y) определена строго монотонно и непрерывно на отрезке [А,В], где А= f(а), В= f(b). Строгая монотонность: для любых точек ,€ х < (>) выполняется неравенство f()<f(,) (f()>f(,))
Т.2: Пусть функция у= f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции и в точке имеет конечную производную f’()≠0, тогда функция х=g(y) точке так же имеет конечную производную равную .
Доказательство : Придадим приращение у≠0, тогда функция х=g(y) получит приращение х≠0. Очевидно, что =.
Если у–›0, то х так же –›0, что следует из непрерывности обратной функции.
Переходим к пределу
Предел: lim (у–›0) = : lim (x–›0) = , т.е. х’y = или у’х = .
Что и требовалось доказать.
8.Эллипс(!!!!Это не надо!!!!)
Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .
Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1.
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.
8.Эллипс. (Каноническое уравнение с выводом)
Определение. Множество точек в плоскости,сумма расстояний каждой из которых от 2ух данных точек,называется фокусами,есть величина постоянная.
С
M (x,y)
F (-c,0)
F1
(c,0)
x
y
0
F1M+F2M=2a
Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между 2мя точками.
Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:
После несложных алгебраических преобразований,получаем каноническое уравнение:
Оси координат – это оси симметрии эллипса.Т. О – центр эллипса. А1А2, В1В2 – большая и малая ось эллипса. Вершина эллипса имеют координаты А1 (-а1,0), А2 (а,0), В1 (0,-b), B2 (0,b).
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большей оси.
=
Окружность – это частный случай эллипса a=b (c=0)
M
B2
B1
A1
F1
F2
A2
O
x
y
a
b
c
34,Точки разрыва и их классификация
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.