Моделирование инерционного звена третьего порядка

К инерционным звеньям третьего порядка относятся звенья, которые в динамике описываются дифференциальными уравнениями третьего порядка.

, где , где

, , , .

Для реализации звена используется метод Рунге-Кутта.

Таким образом, выходной параметр звена в момент времени t можно определить следующим образомy_вых(t)=y_вых(t)+y_вых (t)·h, где h - шаг моделирования.

1.1.3 Моделирование запаздывания

К

y_вых(t)=K·х_вх(t-τ)

звеньям чистого запаздывания относятся звенья, которые в динамике описываются уравнениями следующего вида.

, где τ - время запаздывания.

Передаточная функция звена чистого запаздывания

h(t)=K·(t-τ).

Переходная характеристика звена имеет вид

Значит, физический смысл звена чистого запаздывания состоит в том, что на каждом шаге моделирования оно "прибавляет " к текущему времени моделирования время задержки. Поэтому, для реализации звена чистого запаздывания, в программной имитации достаточно ввести массив, размерность которого будет равна отношению времени задержки к шагу моделирования, . В начале программы этот массив зануляется.

При прогоне системы организуется цикл по данному массиву. На каждом шаге моделирования выходной параметр заносится в данный массив, на место элемента, который был считан на данном шаге и теперь принимается за выходной параметр системы.

1.2. Оценка качества сар в динамике

Устойчивость является необходимым показателем качества САР. При исследовании систем автоматического регулирования приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия, колебательности, перерегулирования, характеризующих точность и плавность протекания процесса.

Показатели качества принято определять по кривой переходного процесса и называть прямыми. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически (как решение дифференциального уравнения системы, когда правая часть уравнения [входной сигнал] единичная ступенька) или экспериментально.

Пусть кривая переходного процесса системы имеет вид, представленный на рисунке 3.

Рисунок 3. Кривая переходного процесса

1. Максимальное динамическое отклонение - максимальная разность между заданным и действительным значениями регулируемой величины в переходном режиме:

2. Максимальное перерегулирование - максимальное отклонение характеристики от установившегося значения выходной величины, выраженное в относительных единицах:

обычно .

3. Колебательность процесса:

(определяется как отношение разности двух соседних амплитуд [направленных в одну сторону], к большей из них в относительных единицах).

Для работоспособных систем .

4. Время регулирования - минимальное время от начала нанесения возмущения до момента, когда регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью, т.е.

где  - постоянная величина, значение которой нужно оговаривать (обычно ).

В настоящее время при бурном развитии вычислительной техники трудности, связанные с расчетом переходных процессов существенно уменьшаются, поэтому роль прямых оценок качества при проектировании САР возрастает.

Для получения общей оценки быстродействия системы и отклонения регулируемой величины от установившегося значения применяют интегральные оценки качества переходных процессов, которые являются интегралами от некоторых функций переходного процесса.

Интегральные критерии качества

1. IAE – С абсолютной величиной

2. ITAE – С абсолютной величиной с учетом времени

3. ISE – Интегральный квадратичный критерий

4. ITSE – Квадратичный с учетом времени

Наиболее удобным при расчетах на ЭВМ является интегральный квадратичный критерий качества. Он учитывает величину максимальных отклонений и быстроту затухания переходных процессов в системе.

Простейший интегральный критерий - линейный I₁

Рисунок 4. Вычисление интегрального квадратичного критерия качества по графику

(с геометрической точки зрения I₁ есть площадь между кривой и линией ). Величина I₁ зависит от всех показателей качества. При этом с уменьшением и (т.е. улучшения качества регулирования) I₁ падает, а с увеличением колебательности I₁ тоже уменьшается, хотя качество регулирования при этом ухудшается.

Итак, уменьшение I₁ свидетельствует об улучшении качества регулирования только для хорошо затухающих переходных процессов и применим для оценки апериодических и слабо колебательных процессов. Критерий I₁ может быть вычислен через коэффициенты дифференциального уравнения или передаточной функции разомкнутой САР.

Для колебательных процессов применяют другие интегральные критерии:

(этот критерий не вычисляется через коэффициенты дифференциального уравнения) и