1.3 Оптимизация динамических систем
Оптимизация динамических систем является важной частью моделирующих программ, и ее реализация позволяет значительно увеличить полезность разрабатываемого инструментария.
Оптимизация динамической системы подразумевает нахождение таких ее параметров, которые минимизируют (максимизируют) определенные динамические свойства или характеристики системы. Примером оптимизации динамической системы является нахождение оптимальных настроек регулятора САР, которые позволяют достигнуть наилучшего качества переходного процесса (перерегулирование, время регулирования и т. д.)
Для параметрической оптимизации используют различные методы оптимизации, которые позволяют получить оптимальные по заданному критерию параметры элементов сборки системы. Оптимизация производится по одному или нескольким критериям (многокритериальная оптимизация). Если результаты параметрического синтеза удовлетворяют пользователя, то осуществляется документирование сборки и оптимизационной модели. В том случае, если в результате параметрического синтеза не найдены параметры, обеспечивающие заданные динамические свойства системы, осуществляют “откат” и повторяют процедуру с начала.
В данной работе будет использован метод Хельдера-Мида.
Данный метод состоит в том, что для
минимизации функции n
переменных
в n-мерном пространстве строится
многогранник, содержащий (n
+ 1) вершину. Очевидно, что каждая
вершина соответствует некоторому
вектору х. Вычисляются значения
целевой функции
в каждой из вершин многогранника,
определяются максимальное из этих
значений и соответствующая ему вершина
,
минимальное (вершина
)
и значение, следующее за наибольшим
(вершина
).
Через
и центр тяжести остальных вершин
проводится проецирующая прямая, на
которой находится точка с меньшим
значением целевой функции, чем в вершине
.
Затем из многогранника исключается
вершина
.
Из оставшихся вершин и полученной точки
строится новый многогранник, с которым
повторяется описанная процедура.
В процессе выполнения данных операций многогранник изменяет свои размеры и форму в соответствии с тремя операциями: отражение, растяжение, сжатие.
Точку
рассчитывают как отражение
относительно
:
,
где
– коэффициент отражение. Обычно
.
Точку
рассчитывают как растяжение
относительно
:
,
где
– коэффициент растяжения. Обычно
.
Точку
рассчитывают сжатие
относительно
:
,
где
– коэффициент сжатия. Обычно
.
При невозможности получить уменьшения
значения функции симплекс сжимается в
2 раза вокруг точки
по формуле:
Проверка сходимости метода использует
не разницу между значениями функций
или
векторов
на соседних итерациях, а стандартное
отклонение значений функций в вершинах
симплекса (многогранника):
, где
.
Считается, что работа метода завершена
при
,
где
–
минимальное стандартное отклонение
метода.
Блок-схема работы алгоритма Хельдера-Мида представлена на рис. 5.
Да Да Нет Да Нет Нет Да Нет Да Да Нет Нет
Рисунок 5. Блок-схема алгоритма метода Хельдера-Мида
2. Практическая часть
2.1 Программная реализация модели.
2.1.1. Исходный код программы
Представлено в приложении А.
2.1.2. Пример выполнения программной модели
А) YS=1, F=1
Рисунок 6. Переходная характеристика исходной системы при управляющем воздействии 1 (программная реализация)
Рисунок 7. Фазовый портрет исходной системы при управляющем воздействии 1 (программная реализация)
Параметры системы:
-
Максимальное перерегулирование(Gmax)
Gmax = 75%
-
Максимальное динамическое отклонение (max)
max = hуст = 1
-
Время переходного процесса (tрег)
tрег = 210 с
-
Колебательность процесса
= 73%
Показатели(Gmax, tрег, ) не удовлетворяют основным показателям качества, поэтому требуется коррекция (оптимизация) системы.
Б) YS=0, F=1
tрег A3 A1
Рисунок 8. Переходная характеристика исходной системы при управляющем воздействии 0 (программная реализации)
Рисунок 9. Фазовый портрет исходной системы при управляющем воздействии 0 (программная реализация)
Параметры системы:
-
Максимальное перерегулирование(Gmax)
Gmax = 24%
-
Максимальное динамическое отклонение (max)
max = hуст = 0
-
Время переходного процесса (tрег)
tрег = 190
-
Колебательность процесса
= 80%
Показатели(Gmax, tрег, ) не удовлетворяют основным показателям качества, поэтому требуется коррекция (оптимизация) системы.