- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
Определение 7.31. Пространство называется конечномерным, если оно является линейной оболочкой конечной системы векторов.
Теорема 7.38. Подпространство конечномерного пространства – конечномерно.
Доказательство. Пусть V – конечномерное пространство, W – его подпространство. По определению, V представляется в виде линейной оболочки конечной системы векторов . Проведём доказательство теоремы индукцией по n. При n=1 утверждение очевидно, так как любое подпространство, содержащее не нулевой вектор, в этом случае, совпадает с V. Пусть утверждение доказано для n-1. Покажем его справедливость для n. Возьмём не нулевой вектор и запишем его в виде линейной комбинации . Не нарушая общности можно считать (иначе перенумеруем векторы ). Множество векторов образует подпространство в линейной оболочке и по предположению индукции это подпространство конечномерно. Пусть линейная оболочка векторов совпадает с . Поскольку векторы принадлежат W, то включение очевидно. Пусть - произвольный вектор W. Вектор принадлежит подпространству и , а значит, и их пересечению. Представим вектор в виде линейной комбинации векторов и выразим d () . Таким образом, установлено включение , из которого, в силу произвольности выбора d, выводим равенство , т.е. W - конечномерное подпространство.
Пусть V конечномерное пространство.
Определение 7.32. Минимальная полная система векторов из V называется базисом пространства. Число векторов в базисе называется размерностью пространства.
Размерность пространства V обозначают dimV.
Следствие 7.21 Размерность подпространства не превосходит размерности всего пространства. Если размерность подпространства совпадает с размерностью пространства, то подпространство совпадает с пространством.
Доказательство. Пусть W – подпространство конечномерного пространства V. Обозначим через базис V. Подпространство W - конечно мерно (Теорема 7 .38) и, значит, имеет базис . По теореме о замене выполняется неравенство . В случае равенства из доказательства теоремы о замене вытекает совпадение линейных оболочек .
Определение 7.33. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами.
Теорема 7.39. Координаты любого вектора существуют и единственны.
Доказательство. Поскольку базис полная система, то любой вектор пространства разложим по базису. Допустим вектор x имеет два различных разложения по базису и . Вычтем одно из другого, получим равенство . В силу линейной независимости базисных векторов, все коэффициенты при базисных векторах равны нулю, а, значит разложения совпадают.
Координаты вектора в базисе обозначим через .
Следствие 7.22. Справедливы равенства , , .
Доказательство очевидно.
Теорема 7.40. (дополнение до базиса)
Базис подпространства конечномерного пространства можно дополнить до базиса всего пространства..
Доказательство. Пусть W подпространство V. Обозначим через базис W а через - базис V. В системе удалим векторы, которые линейно выражаются через предыдущие вектора системы. Получившаяся система будет являться базой, а значит образует базис в пространстве V. Кроме того, векторы линейно независимы, и не могут линейно выражаться через предыдущие вектора системы, и значит, они содержатся в базисе. Фактически получается, что система векторов дополнилась некоторыми векторами из базиса V до базиса всего пространства.
Теорема 7.41 (размерность суммы) Пусть V,W – конечномерные подпространства. Тогда .
Доказательство. Обозначим через базис пространства . Дополним его до базиса пространства V векторами (т.е. - базис V) и до базиса W - векторами (т.е. - базис W). Легко убедиться, что совпадает с линейной оболочкой векторов . Далее, система векторов линейно независима. Действительно, если не так, то линейная комбинация этих векторов с не нулевыми коэффициентами равна нулю. Пусть . Из равенства выводим, что вектор y принадлежит V и W. Раз вектор y принадлежит пересечению , то все (в силу единственности координат), что противоречит линейной независимости системы . Таким образом, система векторов образует базис . Далее, имеем , , и . Для завершения доказательства осталось убедиться в справедливости равенства .