- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Двойственное пространство
Пусть V – линейное пространство над полем P. Линейной формой (функцией) над V называется функция, удовлетворяющая условиям
Свойство 7.22 Линейная форма определена своими значениями на базисных векторах.
Доказательство. Пусть базис V. Вектор x из V разложим по базису . Тогда .
На множестве линейных форм определим операции сложения и умножения на скаляр .
Свойство 7.23 Множество линейных форм образует линейное пространство
Доказательство. Проверим все аксиомы векторного пространства.
Определение 7.36 Пространство линейных форм называется двойственным к исходному пространству.
Свойство 7.24 Двойственное пространство изоморфно исходному.
Доказательство. Для доказательства достаточно показать совпадение размерностей исходного и двойственного пространств. Пусть базис V. Определим линейные формы . Эти линейные формы линейно независимы, и через них выражается любая другая линейная форма. Таким образом, эти линейные формы образуют базис двойственного пространства, и размерность двойственного пространства совпадает с размерностью исходного пространства.
Элементы двойственного пространства называются ковекторами.
Подпространству W линейного пространства V поставим в соответствие подпространство двойственного пространства, состоящее из линейных форм, обращающихся в ноль на всех векторах из W. Отметим некоторые свойства этого соответствия.
Свойство 7.25. Справедливы равенства
Доказательство. Поскольку только нулевая форма обращается в ноль на всех векторах из V, то первое равенство установлено.
Пусть , тогда линейная форма f равна 0 на всех векторах из U+W, а, значит, и . Тем самым установлено включение . Пусть , тогда линейная форма f равна 0 на всех векторах из U и W, а, значит, она равна 0 на всех векторах из U+W, то есть . Таким образом, получено включение . Объединив включение получим второе равенство.
Третье равенство доказывается аналогично второму равенству.
Пусть базис W, дополним его до базиса всего пространства векторами . Определим линейные формы , где j=1,…,n. Линейные формы образуют базис двойственного пространства и принадлежат . Покажем, что базис . Возьмём произвольную линейную форму f из и разложим её по базису . Тогда , и, значит, . Тем самым четвёртое равенство доказано.
Из четвёртого свойства вытекает, что размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений равна разности размерности всего пространства и (строчечного) ранга матрицы.
Вектор из пространства V можно рассматривать как линейную форму в двойственном пространстве. Действительно, и . Следовательно, подпространству F двойственного пространства к V можно поставить в соответствие подпространство пространства V, образованное векторами из V, обращающими в 0 все линейные формы из F.
Свойство 7.26 Пусть - подпространство конечномерного линейного пространства . Тогда.
Доказательство. Пусть , тогда для всех линейных форм из , а, значит, . Тем самым установлено включение . Далее, , следовательно, .
Следствие 7.26 Любое подпространство арифметического пространства можно задать системой линейных уравнений.
Доказательство. Очевидным образом следует из равенства .
Рассмотрим задачу построения системы однородных линейных уравнений задающих линейную оболочку системы векторов (для определённости будем считать эту систему векторов линейно независимой а исходное пространство арифметическим). Следуя проведённым теоретическим построениям, мы должны поступать следующим образом. Дополним систему векторов до базиса всего пространства векторами . Далее, найдём обратную матрицу к матрице A, составленную из векторов . Последние n-k строк матрицы будут определять требуемую систему. Однако, можно уменьшить объём вычислений. Действительно, базис подпространства определяется как базис пространства решений однородной системы линейных уравнений .
Следствие 7.27 Любое линейное многообразие можно задать системой неоднородных уравнений.