- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Способ Феррари
Обозначим корни уравнения через . Положим , , . Легко проверить, что перестановка переменных приводит лишь к некоторой перестановке и поэтому, элементарные симметрические многочлены от являются симметрическими многочленами от . Следовательно, можно написать уравнение третей степени, коэффициенты которого суть многочлены от коэффициентов исходного многочлена, корнями которого являются . Кубическое уравнение называют кубической резольвентой. После нахождения корней , из уравнения ( к нему сводится решение системы , ) находим , из уравнения - , и из уравнения - . Выразив все корни через и подставив выражения в уравнение найдём все корни исходного уравнения.
-
Дискриминант
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом.
-
Основная теорема Алгебры
Лемма 2.5. Многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.
Доказательство. Не нарушая общности можно считать старший коэффициент многочлена равным 1. Пусть , и . Тогда справедливы неравенства и . На концах отрезка многочлен f(x) принимает значения, противоположные по знаку, следовательно, найдётся такое число, что .
Лемма 2.6. Многочлен второй степени с комплексными коэффициентами имеет комплексные корни.
Доказательство очевидно.
Лемма 2.7 Многочлен с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
Доказательство. Любое натуральное число, а, значит и степень многочлена n, можно представить в виде произведения , где m – нечётное число. Доказательство проведём методом математической индукции по s. Если s=0, то n – нечётно, и утверждение следует из приведённой выше леммы. Пусть утверждение леммы справедливо для s-1. Покажем его справедливость для s. Рассмотрим многочлен f(x) степени . Построим его поле разложения. В этом поле он имеет корни . Для некоторого вещественного числа q построим многочлен . Коэффициенты этого многочлена являются симметрическими многочленами от , а значит многочленами (с вещественными коэффициентами) от коэффициентов f(x). Степень равна , и по предположению индукции многочлен имеет комплексный корень. Не нарушая общности, можно считать, что найдутся различные вещественные числа и , при которых числа и - комплексные. Но тогда и . Многочлен второй степени имеет комплексные коэффициенты, а значит и его корни . Тем самым лемма доказана.
Теорема 2.24 (Основная теорема алгебры)
Любой многочлен над полем комплексных чисел имеет хотя бы один комплексный корень.
Доказательство. Пусть f(x) многочлен с комплексными коэффициентами . Положим и . У многочлена g(x) - вещественные коэффициенты, и по доказанному выше, g(x) имеет комплексный корень a, то есть . Если f(a)=0, то теорема доказана, a – корень f(x). Пусть . По свойствам операции сопряжения , откуда выводим корень f(x).
Следствие 2.8 Многочлен над полем комплексных чисел разлагается в произведение линейных множителей. Разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.
Доказательство. По основной теореме алгебры многочлен f(x) над полем комплексных чисел имеет комплексный корень a, и по теореме Безу, делится на двучлен x-a. Поделим f(x) на x-a и повторим указанные действия с частным. В результате разложим многочлен на линейные множители. Единственность разложения доказана ранее (Теорема 2 .13).