- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
. Прямая сумма подпространств. Проекция.
Определение 7.34 Сумма подпространств и называется прямой, если . Обозначение прямой суммы .
Теорема 7.42. Пусть . Тогда любой вектор из V единственным образом представляется в виде суммы векторов из подпространств и , x=y+z. Вектор y называется проекцией x на параллельно , а вектор z называется проекцией x на параллельно .
Доказательство. Допустим, найдётся вектор , который раскладывается в сумму векторов из подпространств и не единственным образом. Пусть , где и . Тогда справедливо равенство, в левой части которого стоит вектор из , а в правой – вектор из . Поскольку пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора, то , и, значит, a=c, b=d.
Следствие 7.23. Если сумма прямая, то и базис получается объединением базисов V и W.
Доказательство. По определению прямой суммы размерность пересечения равна нулю, и, значит, (Теорема 7 .41). Обозначим через базис V, а через - базис W. Покажем линейную независимость системы векторов . Допустим, найдутся коэффициенты, что , тогда справедливо равенство . Поскольку в левой части равенства стоит вектор из V, а в правой – вектор из W, то и , и, значит, все коэффициенты равны нулю. Число векторов в линейно независимой системе векторов совпадает с размерностью суммы пространств, следовательно, она является базисом.
-
Изменение координат вектора при изменении базиса.
Пусть в пространстве V заданы два базиса: и . Координаты вектора x в этих базисах обозначим через и соответственно. Установим связь между координатами вектора в различных базисах. Выразим векторы первого базиса через векторы второго: . По определению координат . Подставим вместо векторов базиса e, их выражения через векторы базиса f, получим равенство. Преобразуем левую часть равенства (поменяем порядок суммирования) . В силу единственности координат вектора выводим равенства , или в матричном виде , где на пересечении строки i и столбца j матрицы P стоит . Матрица P называется матрицей перехода. Отметим, что в j столбце матрицы P стоят координаты вектора в базисе f.
Обозначим через матрицу перехода от базиса e к базису f. Равенство справедливо для всех векторов x. Следовательно, , или . В качестве следствия из этого равенства и условия существования обратной матрицы выводим невырожденность матрицы перехода. Обратно, пусть матрица P – невырожденная. Положим . Система векторов образует базис в пространстве V. Действительно, поскольку матрица P невырожденная, то к ней существует обратная матрица . Далее, (выражение представляет собой элемент произведения матриц PT=E, стоящий на пересечении строки s и столбца i). Поскольку каждый вектор из базиса e линейно выражается через векторы системы f, то система f является полной, а т.к. система состоит из n векторов, то она является минимальной, а, значит, образует базис пространства. Матрицей перехода от базиса e к базису f является матрица P.
Рассмотрим систему векторов из арифметического пространства . Матрицу, составленную из столбцов , обозначим A.
Теорема 7.43 Критерий линейной независимости системы векторов.
Система векторов из арифметического пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю.
Доказательство. Если система линейно зависима, то найдутся числа не все равные нулю, что . Не нарушая общности можно считать, что (иначе перенумеруем векторы), и (иначе поделим все числа на ). Определитель не изменится, если к первому столбцу прибавить остальные столбцы с коэффициентами , а определитель матрицы, содержащий нулевой столбец равен нулю. Таким образом, если система векторов линейно зависима, то определитель матрицы равен нулю. Если матрица A невырожденная, её можно рассматривать как матрицу перехода от базиса к .
Система векторов из арифметического пространства является линейной независимой тогда и только тогда, когда её можно дополнить до базиса всего пространства какими то векторами из системы . По доказанной теореме, система образует базис в том и только том случае, если определитель матрицы отличен от нуля. Определитель этой матрицы, с точность до знака, совпадает с минором k-го порядка матрицы , получающегося вычёркиванием строчек с номерами . Следовательно, система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда все миноры k-го порядка матрицы равны нулю. Оформим полученный результат в виде теоремы.
Теорема 7.44 Система линейно зависима тогда и только тогда, когда все миноры k-го порядка матрицы равны нулю.