3. Уравнение прямой и плоскости в пространстве

Плоскость – линейное многообразие размерности 2. Плоскость в пространстве задаётся одним уравнением . Подпространство, соответствующее плоскости, задаётся однородным уравнением . В ортонормированном базисе левая часть уравнения является скалярным произведением вектора и вектора плоскости . Таким образом, множество векторов плоскости состоит только из тех векторов, которые ортогональны вектору нормали . Расстояние от точки до плоскости равно . Следовательно, коэффициент определяет удалённость плоскости от начала координат

Прямая в пространстве задаётся системой из двух уравнений (см. раздел 7.9) , причём ранг матрицы, образованной коэффициентами при неизвестных, равен 2. Разберём геометрический смысл коэффициентов. Представив прямую как пересечение двух плоскостей, приходим к выводу, что векторы и образуют базис плоскости перпендикулярной исходной прямой.

9. Евклидово пространство. Скалярное произведение.

Пусть V линейное пространство над полем вещественных чисел. Функция , ставящая каждой паре векторов в соответствие число, называется скалярным произведением если выполнены аксиомы

1. Линейность по первому аргументу .

2. Симметричность:

3. Положительная определенность при .

Пространство над полем вещественных чисел в котором введено скалярное произведение называется евклидовым.

Величина называется длиной вектора.

Пусть базис V. Выразим скалярное произведение векторов через координаты векторов. Координаты вектора x в базисе e обозначим через . Тогда . Пользуясь свойством линейности выводим . Используя симметричность скалярного произведения и линейности по первому аргументу выводим . Обозначим через G матрицу Грама базисных векторов, то есть матрицу на пересечении строки i столбца j стоит скалярное произведение i-го и j-го вектора . Используя матричные операции умножения получаем .

1. Изменение матрицы Грама при изменении базиса.

Допустим, в евклидовом пространстве V заданы два базиса и . Обозначим через матрицу перехода, связывающие координаты вектора в разных базисах. Пусть для определённости . Скалярное произведение не зависит от выбора базиса, поэтому . Подставим в правую часть равенства вместо координат вектора в базисе e их выражение через координаты в базисе f. В результате придём к равенству . Поскольку полученное равенство справедливо для любых векторов x и y, то выводим .

2. Ортогональность.

Определение 9.38. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Теорема 9.50 (Пифагора). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда .

Доказательство. , т.к. в силу ортогональности.

Теорема 9.51 (неравенство Бесселя). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда .

Доказательство. По теореме Пифагора . Поскольку , то , что и требовалось.

Теорема 9.52 (неравенство Коши-Буняковского-Шварца). .

Доказательство. Для любого a справедливо неравенство . Раскроем левую часть . В левой части неравенства записан квадратный трехчлен. Выделим из него полный квадрат . Положив получим неравенство из которого вытекает. Извлекая квадратный корень, получаем требуемое.

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца позволяет ввести угол между векторами, то есть косинус угла равен отношению .

Определение 9.39 Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов из этой системе ортогональна.

Свойство 9.32. Ортогональная система векторов линейно не зависима.

Доказательство. Пусть - ортогональная система векторов и . Тогда . Таким образом и система векторов линейно независима.

3. Процесс ортогонализации.

Пусть линейно не зависимая система векторов. Следующий процесс позволяет строить эквивалентную ей ортогональную систему векторов:

Положим , …, … .Ортогональность построенной системы проверяется непосредственно. Процесс может остановиться только в случае , что невозможно в силу линейной независимости векторов .

4. Геометрический смысл определителя матрицы Грама.

Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объема k-мерного параллелепипеда натянутого на векторы иначе.

5. . Ортогональное дополнение.

Определение 1. Ортогональным дополнением к подпространству W пространства V называется множество всех векторов ортогональных каждому вектору из W.

Утверждение 1. Пространство раскладывается в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

Следствие 9.28. Любое подпространство арифметического пространства может быть задано системой однородных линейных уравнений.

6. . Расстояние.

Расстоянием между множествами X и Y называется .

Расстояние между линейными многообразиями достигается на общем перпендикуляре.

Расстояние между линейным подпространством и точкой равно .

Расстояние между точкой x и гиперплоскостью ax=b равно .