32. Стационарные и нестационарные случайные функции.
Случ. ф-ция, мат. ожидание кот. постоянно, а КФ зависит только от разности аргументов называют стационарной:
mx(t)=mx=const (1),
Kx(t;t’)=Kx(t’-t)=Kx(Δt) (2).
Если изменяется либо 1-ое условие с течением t, либо КФ изменяется при сдвиге аргумента по оси t (т. е. нарушается условие (2)), либо нарушается и (1) и (2), то СФ стационарна. Если МО постоянно, то в течение времени t изменяется D, о чем свидетельствует увеличение с ростом аргумента отклонения реализации СФ от МО. Если СФ x(t) не стационарна только за счет переменного МО, то вместо x(t) следует рассм-ть СФ X(t)=x(t)-M(x(t)). Для данной ф-ции кор. момент будет равен КМ действительной СФ:
K[x(ti), x(tj)]=K[x(ti), x(tj)].
Для стац-ной СФ КФ четная: Kx(Δt)=Kx(-Δt). На практике применяют нормированную КФ
.
По физ. смыслу нормированная КФ при заданном Δt – это корреляционный коэффициент между ординатами СФ, разделенными по оси t интервалами Δt.
33. Эргодическое свойство случайных функций.
Любая из реализаций СФ обладает одними и теми же хар-ми: средним уровнем, вокруг кот. происходят колебания и средним размахом этих колебаний отн-но среднего уровня. Очевидно, что одна из произвольно выбранных реализаций при достаточно времени может дать достаточно хорошее представление о св-вах СФ, а усреднением зн-ния этой реализации во времени можно получить зн-ние M[x] СФ. Про СФ, реализация кот. явл-ся как бы «полномочным представлением» всей совокупности возможных реализаций, говорят, что она обладает свойством эргодичности. Если отдельно взятая реализация не дает полного представления о семействе реализаций, то она не обладает свойством эргодичности. Для СФ, обладающей свойством эргодичности должно соблюдаться:
1. ее МО равно
средней по времени одной произвольно
взятой реализации X(t)
достаточной продолжительности
.
2. зн-ние КФ примерно равно средней по времени из произведений отклонений ординат реализаций в точках, отстающих друг от друга на величину t от МО случайной стац-ной ф-ции
.
34. Определение характеристик эргодической стационарной функции по одной реализации.
В
результате опыта оказывается известно
значение одной реализации для конечного
множ-ва аргументы. При выч-и хар-к мат
ожид и корреляционной функции в формулах
интеграл заменяют конечными суммами.
Разобьем отрезок на n
равных частей ширина интервала h=T/n
найдем значение середины интервалов
и значение их ординат ∫x(t)dt-
площадь ограниченной функцией. Но мы,
разбив интеграл t
на n
частей, можем перейти к конечным суммам.
Поскольку мат ожидание случ-й функции
обладает стационарностью можно заменить
интеграл на конечную сумму,
в энергетике мат ожидание можно было вычислить как среднее за данный период, т.к. график имеет ступенчатый характер. Для оценки корреляционной функции примем интервал Δt, кот-е будем определять значение 0, h и 2h…
Если кол-ва m=0, тогда корреляционная ф-я вычисленная по одной реализации будет равна дисперсии и оценка дисперсии стационарной случайной функции может быть вычислена для определения мат ожидания и корреляционной функции эргодической стационарной функции с достаточной точностью необходимо чтобы число точек n было достаточно велико.
Кол-во точек определяется в зависимости от свойств случайной функции. Если ф-я изменяется плавно, кол-во точек может быть меньше по сравненибю с функц-й имеющие резкие и частые колебания(не меньше 5).
35. Обработка экспериментальных данных.
Полученные данные располагают в определённой последовательности и разбивают на несколько групп. Для сравнения групп интервалы делают одинаковыми. Дискретные и непрерывные величины делят на группы, используя равные единицы интервала.
Если
случайная величина дискретна
и имеет большой диапазон колебаний
между отдельными значениями, то несколько
таких значений следует объединить в
один интервал. Если случайная величина
является непрерывной,
то полученные значения объединяют в
интервалы, выбор которых зависит от
объёма измеренного диапазона колебаний
между крайними значениями и цели
исследования.
Если границы диапазона не позволяют определить, куда включить величину, то значение нужно включить в высшую группу. Законы распределения представляются графически для случайных величин.
Для практических задач для оценки случайных величины прибегают к ограниченному числу опытов с целью получения соответствующих характеристик прибегают к выборке.
Замена большого числа опытов, называемое генеральной совокупностью ограниченной количеством испытаний (выборкой) оправдано, когда числовые характеристики, полученные по выборке будут близкими по своим значениям к характеристикам генеральной совокупности. Такое условие ведёт к необходимости обоснования объёма и способа выборки, основанное на законе больших чисел (решение).
36. Выравнивание статистического ряда.
При обработке статистического материала приходиться решать вопрос о том, как подобрать теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, но не случайности.
Вид теоретической кривой выбирают заранее из соображений, связанных с существом задачи, а в некоторых случаях просто с внешним видом статистического распределения. Pадача выравнивания статистического ряда переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределением будет наилучшим.
Задача выравнивания переходит к задаче о рациональном выборе мат. Ожидания и средне квадратич. отклонения.
Бывают случаи, когда заранее не известно, что величина x распределяется статистически приблизительно равномерно, тогда ставится задача о рациональном выборе параметров этого закона, который называется равномерным.
При этом следует иметь ввиду, что функция распределения вероятности f(x), с помощью которой выравнивается статистический ряд должна удовлетворять следующим требованиям
Одним из методов определяемых является метод моментов. Параметры a, b… выбираем с таким расчётом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам.
Если теоретическая кривая зависит только от двух параметров a и b, то эти параметры выбирают так, чтобы мат. ожидание М(x) и дисперсия теоретического ряда соответствовали мат ожиданию и дисперсии статистического ряда.