28.Системы случайных величин и их характеристики. Функция распределения и плотность распределения системы случайных величин.

Система СВ будет описыв-ся не только св-ми соствл-х, но и св-ми их взаимосвязи. Если система – это дискр. зн-ния, то инф-ция о данной системе может представляться в виде таблицы:

Универсальной формой задания распр-ния системы двух СВ явл-ся ф-ция распр-ния (ФР). Для непрерывной системы СВ исп-ют диф. ф-цию распр-ния или плотность распр-ния вер-сти.

Плотностью распр-ния системы СВ наз-ют вторую смешанную производную от интегр. ФР вер-сти: .

Если известна плотность распр-ния системы СВ, то ФР системы опр-ся:

Система двух СВ также хар-ся условным законом распр-ния одной СВ от другой. Для условной ФР F(x!y), Fy!x). Плотность распр-ния двух СВ равна плотности распр-ния одной из величин, входящей в систему, умноженную на условную плотностьраспр-ния другой, вычисл. при условии, что первая величина приняла опр-ое зн-ние. Результат не зависит от того, какие возможные зн-ния приняла другая величина. В противном случае величины наз – ся зависимыми. Условие независимости x и y: F(x!y)=F(x). Если условие независимости сохраняется, то условная плотность распр-ния одной из составляющих будет равна плотности распр-ния СВ этой составляющей. Для непрерывной системы СВ можно сформулировать признак независимости: для того, чтобы непрерыв. СВ x,y была независима необх-мо и достаточно, чтобы плотность распр-ния системы [x,y]была равна произведению плотности отдельных величин, входящих в систему. f(x,y)=f1(x)f2(y).

29.Числовые характеристики системы 2-х случайных величин.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется матема-тическое ожидание величины X^k:

                                         ν_k = M (X^k).                                                                 

В частности, ν₁ = М(Х),  ν₂ = М(Х²). Следовательно, дисперсия   D(X) = ν₂ – ν₁².

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется мате-матическое ожидание величины (Х – М(Х))^k:

                                   μ_k = M((Х – М(Х))^k).                                                         (9.2)

Случайные величины помимо законов распределения могут так же описыватся числовыми характеристиками. Различают характеристики положения (МО, мода, медиана и др) и характеристики рассеивания (дисперсия, СКО, различные моменты распределения порядка выше 1 и др.)

Мода дискретной СВ Х определяется как такое возможное значение хm для которого P(X=xm)=maxP(X=xk). Модой непрерывной СВ Х называется действительное число d определяемое как точка max плотности вероятности f(x).

Медианой непрерывной СВ Х называется действительное число h, удовлетворяющее условию: вероятность того, что СВ Х<h= вероятности того что X>=h. P(X<h)=P(X>=h) F(h)=1/2. СВ Х называется центрированной Х если М[x]=0.

Квантиль порядка р (симметричной квантилью) порядка р  НСВ  называется действительное число tp удовлетворяющее уравнению p(X<tp)=p;

Начальным моментом k-го порядка СВ Х называется математическое ожидание k-й степени СВ Х , т.е.α_k=M[x]^k.

Центральным моментом k-го порядка CВ x называется величина μ_k, определяемая формулой μ_k=М[(x-M[X])^k].

Меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой β[x]=μ_3/σ³[x], где μ₃— центральный момент третьего порядка, σ — среднеквадратичное отклонение.

Абсолютный начальный момент:β_k=M[|X|^k] Абсолютный центральный момент: ν_k=M[|X-m_k|^k]