§6. Дифференцирование обратной функции.
Пусть задана ф-ция y=f(x) в некотор. окр-ти т. х0.
Если ф-ция f(x)
– непрерывна и строго монотонна в этой
окр-ти, то для неё
обр. ф-ция
,
причем также непрерывная и строго
монотонная на мн-ве
-
мн-во зн-ий ф-ции f(x)
задан. в окр-ти т. х0.
Д-жем теперь, что если ф-ция y=f(x)
диф. в некотор. точке х0,
то обр. ей ф-ция
диф.
в т. у0=f(х0),
причем если
,
то
.
Д-во:по условию
y=f(x)
диф. в т. х0.
Рассмотрим ф-цию
и
в т. у0
выберем приращение
,
такое, что
.
Здесь обязат-но
.
Тогда ф-ция
получим
приращение
,
где
.
Т.к. по усл-ю ф-ция
строго
монотонна, то
.
Используя опр-е диф-ти ф-ции в точке и
условия, что y=f(x)
диф-ма в т. х0,
получаем
,
А-число,
.
.
По условию
при
,
а в силу непрерывности ф-ции
при
,
заключаем, что
.
Отсюда заключаем, что
при
.
По усл-ю
,
поэтому, след-но
,
т.к.
(по
т. 1 §2).
След-но,
Ч.т.д.
Таким обр-м, мы док-ли:
Теорема.
Пусть задана ф. y=f(x)
непрерывная и строго монотонная на
интервале (a;в),
а также диф. в некотор. точке
,
причем
Тогда обрат. ф.
диф.
в т.
и
справедливо рав-во :
.
Правило: производная обр. ф-ции – есть величена, обратная произв-ной заданной ф-ции: .
§7. Инвариантность формы записи дифференциала.
В §2 мы определили
диф-л ф-ции:
(1).
А затем, заменив
на dx,
получим формулу:
(2).
-
фиксир. приращение аргумента х. Оказ-ся,
ф. (2) остается верной и в томслучае, когда
переменная х явл. зависимой, т.е. промежут.
аргументом, в то время как ф-лв (1) не
остается верной, т.к.
.
Теорема. Если ф-ция y=F(t), являющ. композицией 2х ф-ций : y=F(x), x=g(t). И ф-ции f(x) и g(t) диф-лы, то справедливо рав-во (2).
Д0во: т.к. t-
независ. переменная, то
по
условию F(t)
явл. компазицией 2х ф-ций.
По вычислению
дифференциала ф-ции независ. переменной,
получ-м:
.
По т. о диф. и сл.
ф-ции в §5, получаем
,
след-но,
,
т.е. рав-во (2). Мы показали, что ф-ла (2)
справедлива, когда х явл. и завис.
переменной, т.е. формула записи получена
– инвариантно.
§8. Арифметич. Операции над диф. Ф-циями.
Пусть заданы ф-ции
u=f(x)
и v=g(x)
на мн-ве Х. Пусть в некотор. точке
ф-ции
u
и v
диф-мы. Тогда сумма, разность, проиц-ние
и частное этих ф-ций диф-мы в т. х0
и имеют место равенства: 1)
Дифференцирование проводили в т. х0.
Д-во:
1.
Выберем производную приращения
в
т. х0.
это приращение вызовет приращение ф-ции
y(x)=
.
Рассмотрим ф-цию y=u+v,
тогда
Т.к. по условию
ф-ции u
и v
диф-мы в т. х0
, то по т.1 §2
предел:
.
Следовательно, получаем существование
пределов справа, откуда следует существо-е
пределов слева :
.
Отсуда получаем,
.
Для разности анологично.
2.
Аналогично, д-жем существование
производной произ-я: y=uv.
.
По условию
Т.к. ф-ция u
диф-ма в т. х0
по
т. 2 §2 – непрерывна в т. х0,
а это значит, что
.
Следовательно,
.
3.
Аналогично, для частного :
Ч.т.д.
Следствие:
1. при условии теоремы из доказанных формул получаем ф-лы для дифференциалов.
ч
Эти ф-лы сразу следуют из ф-л теоремы и ф-лы вычесления диф-лов ф-ции (см. т.1 §2).
Т.е. полученные производные умножить на dx.
2.
3.
.