- •§27. Графич. Изоб-е ф-ции.
- •§1. Понятие производной ф-ции.
- •§2. Дифференциал ф-ции.
- •§3. Геометрич. И физический смысл производной и дифференциала функции.
- •§5. Дифференцирование сложной функции.
- •§6. Дифференцирование обратной функции.
- •§7. Инвариантность формы записи дифференциала.
- •§8. Арифметич. Операции над диф. Ф-циями.
- •§9. Дифференцирование элементарных функций.
- •§11. Производные высших порядков.
- •§12. Дифференциалы высшего порядка.
- •§13. Приложения дифференциала при приблеженных вычислениях.
- •§15. Раскрытие неопредел-тей по пр.Лопиталя.
- •§16. Сравнение роста стнпенной логарифмич. И показатю функции.
- •Раздел 4. Иссл-е ф-ций методом диф. Исчисления и постр-е графиков.
- •§17. Условия постоянства возр-я и убывания ф-ции.
- •§18. Экстремум ф-ции. Наиб. И наим. Знач-я.
- •§19. Направления выпуклотости и вогнутости кривой и точки перегиба.
- •§20. Исследование ф-ций и постр-е графиков.
§9. Дифференцирование элементарных функций.
1. Степенная ф-ция.
Рассм-м
Если целое, то получ-я ф-ла справедлива и при х<0.
2. Тригонометрич. ф-ции.
3. Обратные тригонометрич. ф-ции.
Рассмотрим ф-цию y=arcsin x, Эта ф-ция явл. обратной для ф-ции x=sin y; Исполь-м т. §6-диф-е обр. ф-ции.
Эта ф-ция явл. обратной x=tg y; Тогда
4. Показат. ф-ция.
5. Логорифмическая ф-ция.
y=ln x, x>0.
По опр. ф-ция явл. обр. ф-цией для ф-ции x=ey, т.к. лог. ф-я – строго монотонна.
По т. диф-е обр. ф-и получаем:
В частности : y=logax, a>0,
.
6. Гиперболические ф-ции.
Выписать таблицу производных. Из полученной таблицы производных оси. элементар. ф-ций сразу получается таблица дифференциалью оси. элемент. фф-ций. Написать самостоятельно.
d(shx)=chx dx.
Вывод: производная любой элементарной ф-ции представляет собой так-же элементарную ф-цию, т.е. операция диф-я ф-ции не выводит нас из класса элемент. ф-ций.
Установленная таблица производных с правилами дифференцирования ф-ций, а также правилом диф. слож. и обр. ф-ции составляют вычислительный аппарат той части мат. анализа, которую принято называть диф. исчислением.
§11. Производные высших порядков.
В §1 мы дали понятие производной ф-ции y=f(x) на некотор. промеж-ке Х и эта производная на мн-ве х явл-ся ф-цией.
Если эта ф-ция дифференцируема на Х, то полученная производная наз. производной 2-го порядка . Аналогично получаем производную 3-го порядка и т. д. порядков в случае их существования.
Равенство (1) наз. рекуррентной формулой, т.е. возвратной. Если ф-ция имеет на мн-ве х непрерывные производные до n-го порядка включительно: n=0, 2, …, тотакую ф-цию наз. n раз непрерывно дифференцируемой.
Теорема. Для того, чтобы ф-ция была n раз непр. диф-мой на Х достаточно, чтобы на нем ф-ция имела непр. производн. порядка n.
Утверж-е теоремы следует из рекур. ф-лы (1) и условия диф. ф-ции. (см. §2).
Иногда производные высших порядков (высшего 1-го) обозначают так:
Механический смысл 2-й производной.
В §4 мы ввели мех. смысл производной 1-го порядка и показали, что если S=x(t), то .
Скорость изменения скорости, т.е. ускорение, означает механич. смысл 2-ой производной, т.е. .
Бином Ньютона.
Пусть дана целая рац. ф-ция, т.е. многочлен: который определен на мн-ве R. Положим х=0, тогда f(0)=a0.
Продифф-ем (2) и положим х=0.
.
Родолжая процесс, на след. шаге получим ,
Ф-ла (3) строго док-ся методом матем. индукции.
Представляя получ. коэф-ты в (2), получим ф-лу: которую называют ф-лой Ньютона. Можно Получить более общ. ф-лу Тейлора.
.
Рассмотрим теперь ф-цию f(x)=(1+x)n, которая при раскрытии степени, будет многочленом n-ной степени.
Для этой ф-ции применим ф-лу (4), для чего посчитаем все коэф-ты аn.
Подставим полученные производные в ф-лу (4), получим
Последнее равенство наз. форм. бинома Ньютона. В нем справедливо св-во – коэф-ты равноуд-е от концов в разложении бинома (1+х)n по степеням равны. Эти коэф-ты наз. биноминальными коэф-тами и обозначают:
(це из эн по ка) и наз. сочетаемом из n по k. Ф-ла вычисл-я сочетаний выведена в комбинаторике и совпадает с теми выведенными коэф-ми.
.
Коэф-т Сnk можно преобразовать и записать в след. виде:
Производные n-го порядка и их свойства
Для производных n-го пор-ка справедливы след-е св-ва:
1. Исп-я формулу (1): методом матем. инд. легко получить производную n-го поряд. от суммы конечного числа n рац. диф-х ф-ций:
Для док-ва дост-но взять сумму 2х ф-ций и получить
В силу произвольности k получаем утверждение св-ва.
2. Постоян. множ-ль можно выносить за знак производной n-го порядка, т.е. справедливо рав-во: (самост.)
3. Если даны 2 ф-ции u(x) и v(x) u – производные n-го порядка включит-но, то производная призвед-я n-го порядка вычесляется по формуле.
где коэф-ты совпадают с коэф-ми бинома Ньютона. Ф-ла (5) наз. ф-лой Лейбница для n-ой производной от произведения.
.