- •§27. Графич. Изоб-е ф-ции.
- •§1. Понятие производной ф-ции.
- •§2. Дифференциал ф-ции.
- •§3. Геометрич. И физический смысл производной и дифференциала функции.
- •§5. Дифференцирование сложной функции.
- •§6. Дифференцирование обратной функции.
- •§7. Инвариантность формы записи дифференциала.
- •§8. Арифметич. Операции над диф. Ф-циями.
- •§9. Дифференцирование элементарных функций.
- •§11. Производные высших порядков.
- •§12. Дифференциалы высшего порядка.
- •§13. Приложения дифференциала при приблеженных вычислениях.
- •§15. Раскрытие неопредел-тей по пр.Лопиталя.
- •§16. Сравнение роста стнпенной логарифмич. И показатю функции.
- •Раздел 4. Иссл-е ф-ций методом диф. Исчисления и постр-е графиков.
- •§17. Условия постоянства возр-я и убывания ф-ции.
- •§18. Экстремум ф-ции. Наиб. И наим. Знач-я.
- •§19. Направления выпуклотости и вогнутости кривой и точки перегиба.
- •§20. Исследование ф-ций и постр-е графиков.
§12. Дифференциалы высшего порядка.
В §2 мы ввели понятие дифференциала ф-ции y=f(x) на пр-ке Х и получили формулу: Справа имеем ф-цию переменной х, где и след-но от этой ф-ции можно взять дифференциал, считая dx=const, т.к. х – независеммая переменная. Если можно продифференцировать эту ф-цию, то дифференциал от неё назовем диф. 2-го порядка и обозначим
Если полученная ф-ция d2y диф-ма, то можно определить диф-л от неё, который назовем 3-го порядка и запишем
Продолжая этот процесс можно ввести понятие диф. n-го порядка рекуррентно, т.е. .
Таким образом, методом матем. инд-и получаем правило вычисления дифференциала n-го порядка :
Формула (2) верна, если х явл. независимой переменной, если же х явл. промежуточной ф-цией, т.е. зависимой переменной, то (2) не верна, т.к. dx – не явл. const. Если и т.д. Тогда дифференциал 2-го порядка будем вычислять кА дифференциал от произведения: . Таким образом, форма записи диф-ла порядка выше 1-го – не инвариантна.
§13. Приложения дифференциала при приблеженных вычислениях.
В §2 мы ввели понятие дифференциала и показали, что с точностью до беск. малой более высок. порядка, чем
тогда .
Получили ф-лу приближенного вычисления знач-и ф-ции f(x) в малой окр-ти т. х0, где - некотор. приращение аргумента. Чем меньше, тем ф-ла точнее.
§15. Раскрытие неопредел-тей по пр.Лопиталя.
Теорема 1(пр. Лапиталя раскрытие неопределенностей вида ):пусть даны 2 ф-ции f(x) и g(x) на инт. (а;в). Если выполняются след. условия:
Д-во: доопределим ф-ции f(x) и g(x) в т. а, для чего положим:
Тогда ф-ции f(x) и g(x) будут непрерывны на промежутке [a;в). Причем они будут и непрерывны на нем. Выберем произвольное знач-е и рассм-м ф-ции f(x) и g(x) на отрезке [a;x]. Они удовлетворяют всем условиям т. Кошипоэтому на этом отрезке некот. т. C: a<c<x, для котор. справедливо рав –во Каши: или .
Перейдем к пределу в этом рав-ве при , тогда очевидно и получаем Ч.т.д.
Замечание: аналогично можно док-ть случай, когда слева или когда , где а- любая внутр. точка интервала (a;в).
Замечание 1. Если, применяя т. получили опять неопр-ть , то можно повторить указанную теорему. Раскрытие неопределенности по т.1 вида принято наз. правилом Лапиталя.
Замечание 2. После каждого применения правила Лопиталя необходимо произвести все упрощения, сокращения и только после этого применять повторно правило Лопиталя.
Приер.
Замечание 3. След. заметить, что правило Лопиталя не всегда принимается при раскрытии неопределенности , т.к. из существования предела отношения 2-х беск. малых следует предел отношения производных числстеля и знаменателя.
При многократном использовании правила Лопиталя, необходимо непоср. подстановкой проверить наличие неопр., т.к. можно получить ошибочный результат.
Теорема 2(следствие т.1): пусть на интервале (a;∞) определены ф. f(x) и g(x), удовлетв. след. условием: 1.
2. на интер. (a;∞), причем .
3.
Тогда .
Для док-ва этой теоремы достаточно ввести замену, положив , тогда при . В силу диф-я слож. ф-ции, получаем
Ч.т.д.
Таким обр., правило Лопиталя при раскрытии неопр. , применется, когда аргумент стремится к конечному или беск. пределу. Аналогично, можно было показать, когда . Таким обр., при отношении 2х беск. малых легко используя диф. исчисл. прийти к цели.
Перейдем теперь к раскрытию неопр. вида , т.е. к отношению двух беск. больших ф-ций. Оказывается и в этом случае можно применять правило Лопиталя.
Т.3: пусть на некотор. инт. (a;в) пред. ф. f(x) и g(x), удовлет. след. условиям:
1.
2. на инт. (a;в), причем .
3.
Тогда
Д-во(самост.)
Все замечания, сформулир. к т.1 справедливы и в этом случае.
Все остальные виды неопр-тей сводятся к двум выше изученным путем алгебр. преобр-ний и и применены осн. логар. тождества.