![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •I. Числовые ряды
- •§ 1. Основные понятия
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 2. Положительные ряды
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 3. Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •§ 4. Функциональные ряды: область сходимости и равномерная сходимость
- •Вопросы для самопроверки
- •III. Степенные ряды
- •§ 5. Основные понятия. Область сходимости степенных рядов
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 6. Основные свойства степенных рядов
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 7. Разложение функций в степенные ряды
- •2. Перейдем теперь к произвольным функциям
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 8. Приложения рядов
- •Приближенное вычисление определенных интегралов.
- •Применение рядов к раскрытию неопределенностей.
- •IV.Ряды Фурье.
- •§ 9. Тригонометрический ряд Фурье
- •Основные понятия и определения.
- •Тригонометрический ряд Фурье.
- •Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.
- •Тригонометрический ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [0;l].
- •Условие полноты основной тригонометрической системы функций.
- •Интегрирование тригонометрического ряда Фурье.
- •Дифференцирование тригонометрического ряда Фурье.
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты контрольной работы
- •Литература
- •Содержание
Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.
Если интегрируемая на отрезке [-l; l] функция f(х) является четной на этом отрезке, то тригонометрический ряд Фурье этой функции имеет вид:
,
(9)
где
.
(10)
Если интегрируемая на отрезке [-l; l] функция f(х) является нечетной на этом отрезке, то тригонометрический ряд Фурье этой функции имеет вид:
,
(11)
где
.
(12)
Сумма рядов (9) и (10) определяется в соответствии с теоремой о разложении функции в тригонометрический ряд Фурье.
Тригонометрический ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [0;l].
Пусть
на отрезке [0;l]
задана функция
.
Продолжая эту функцию на промежуток
[-l;
0) четным образом, полагая f(х)
= -f(-х)
для х
[-l;
0), получим некоторую четную функцию,
совпадающую с функцией f(х)
на заданном отрезке. Тригонометрический
ряд Фурье этой новой функции на отрезке
[0; l]
- это ряд по косинусам (9), коэффициенты
которого определяются по формулам (10).
Если функцию f(х) продолжить на промежуток [-l; 0) нечетным образом, полагая для х [-l; 0) f(х) = -f(-х), то получим нечетную функцию, которая разлагается в тригонометрический ряд Фурье по синусам (11), коэффициенты которого определяются по формулам (12).
Таким образом, для интегрируемой на отрезке [0; l] функции f(х) можно записать два тригонометрических ряда Фурье: по косинусам (9) и по синусам (11), сумма которых определяется в соответствии с теоремой о разложении функции в тригонометрический ряд Фурье.
Условие полноты основной тригонометрической системы функций.
Теорема 3. Для всякой интегрируемой на отрезке [-l; l] вместе со своим квадратом функции f(х) формально построенный тригонометрический ряд Фурье (6) с коэффициентами Эйлера-Фурье этой функции (6) удовлетворяет равенству Ляпунова-Парсеваля
.
(13)
Интегрирование тригонометрического ряда Фурье.
Теорема
4. Если
функция f(х)
кусочно-непрерывная на отрезке
[-l;
l],
то тригонометрический ряд Фурье этой
функции (6) можно почленно интегрировать
по любому отрезку [,]
[-l;
l]
и сумма полученного при этом ряда будет
равна
.
Дифференцирование тригонометрического ряда Фурье.
Теорема 5. Если функция f(х) непрерывна, имеет непрерывные производные до т-го порядка включительно на отрезке [-l; l], причем
,
а производная (т +1)-го порядка кусочно-непрерывна на этом отрезке, то тригонометрический ряд Фурье этой функции (6) на отрезке [-l; l] сходится равномерно к самой функции:
и допускает почленное дифференцирование до т-го порядка включительно:
(14)
причем все ряды (14) сходятся абсолютно и равномерно на отрезке [-l; l].
Теорема 6. Если периодическая с периодом 2l функция непрерывна на числовой прямой вместе со своими производными до т-го порядка включительно, то тригонометрический ряд Фурье этой функции (6) сходится к самой функции на всей числовой прямой:
и допускает почленное дифференцирование до т-го порядка включительно:
причем все ряды (15) сходятся абсолютно и равномерно на всей числовой прямой.
Пример 1 . Разложить в ряд периодическую с периодом 2l функцию f(х), определенную следующим образом:
С
помощью этого ряда вычислить сумму
числового ряда
.
Решение. График этой функции представлен на рис. 1.
Данная функция не обладает свойством четности или нечетности, поэтому её тригонометрический ряд Фурье (6) будет полным:
,
(15)
причем
сумма этого ряда совпадает со значениями
функции во всех точках
,
в которых функция имеет разрыв первого
рода. В точках
сумма этого ряда будет равна
,
т.к.
.
Вычислим коэффициенты ряда (6) по формулам (5), при этом воспользуемся свойством аддитивности определенного интеграла, разделив отрезок [l; l] на два отрезка [-l;0] и [0; l].
Имеем
Здесь и в дальнейшем очень часто будем использовать следующие соотношения:
(16)
С учетом второго соотношения (16) будем иметь
Учитывая второе соотношение (16), получим
.
Подставляя
найденные значения коэффициентов
в ряд (6), запишем тригонометрический
ряд Фурье данной функции
В
частности, отсюда при х
= 0 получим
.
Пример
2. Разложить
в ряд Фурье функцию
и с его помощью вычислить сумму числового
ряда
.
Решение. График данной функции представлен на рис. 2.
,
нечетная, имеет точки разрыва первого
рода
,
,
причем в каждой такой точке выполняется
условие
.
Отсюда следует, что её тригонометрический ряд Фурье содержит только синусы и сходится равномерно к самой функции на всей числовой прямой.
Учитывая,
что
,
будем иметь
,
причем
Учитывая эти значения коэффициентов, запишем ряд Фурье данной функции:
.
Полагая
в этом равенстве
и учитывая, что
,
получим
,
отсюда следует
.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2, определенную равенством
при
.
Решение. График данной функции представлен на рис. 3.
,
причем ряд Фурье сходится на всей числовой прямой равномерно к самой функции.
Для вычисления коэффициентов воспользуемся формулами (10), полагая в них l = :
;
=
=
Учитывая значения этих коэффициентов, запишем ряд Фурье этой функции
.
Заметим,
что если в этом разложении положить
,
то получим
,
т.е. получит тот же числовой ряд, что и в примере 1.
Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2 функцию f(х), определенную следующим образом:
.
Найти суммы следующих числовых рядов:
Решение. На рис. 4 представлен график данной функции.
.
Здесь мы воспользовались разложением (9) при l = 1. Вычислим значения коэффициентов по формулам (10).
.
=
=
=
.
При найденных значениях коэффициентов получаем тригонометрический ряд Фурье для данной функции:
.
Чтобы найти сумму числового ряда а) , положим х = 0, тогда получим
,
отсюда следует
.
Чтобы найти сумму числового ряда б) равенством Ляпунова-Парсеваля (13), которое для данной функции запишется в виде:
.
(17)
Здесь
для
,
т.к. функция f(х)
- четная.
Найдем
,
поэтому равенство (17) запишется в виде
,
откуда
следует, что
.
Пример
5. Разложить
в ряд Фурье по синусам функцию
,
заданную на отрезке [0;1].
Решение. Т.к. функция задана на отрезке [0;1], то l = 1. Продолжим эту функцию периодически с периодом 2l = 2 нечетным образом. График этого продолжения g(x) представлен на рис. 5.
,
поэтому данная функция может быть
представлена своим рядом Фурье по
синусам только на промежутке [0;1], а в
точке х = 1
сумма этого ряда будет равна значению
.
.
Вычислим коэффициенты этого разложения.
Отсюда следует, что
поэтому искомый тригонометрический ряд Фурье запишется в виде:
Рассмотрим два примера, связанных с задачей о колебаниях закрепленной на концах х = 0, х = l струны.
Пример 6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, заданную на отрезке [0; l]:
и найти суммы следующих числовых рядов
.
Решение. Продолжим данную функцию нечетным образом, периодически с периодом 2l на всю числовую ось. График этого продолжения g(х) представлен на рис.6. Функция g(х) непрерывна на всей числовой прямой и кусочно-дифференцируема на отрезке [-l; l], поэтому функция f(x) на отрезке [0; l] представима своим тригонометрическим рядом Фурье по синусам
.
=
Подставляя
значения коэффициентов
в тригонометрический ряд Фурье данной
функции, получим
.
В
частности, если в этом равенстве положить
,
то будем иметь
,
откуда следует, что
.
Запишем равенство Ляпунова-Парсеваля для данной функции:
.
Так как
,
то равенство Ляпунова-Парсеваля будет иметь вид
,
откуда следует
.
Пример 7. Разложить в ряд Фурье функцию
периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3.
Эта
функция кусочно-дифференциальная,
непрерывная на всей числовой прямой,
поэтому для периодического продолжения
g(х)
с периодом 2l
= 3 справедливо разложение (
,g(х)
- четная функция):
.
Вычислим коэффициенты этого разложения:
;
=
.
Подставляя
значения этих коэффициентов в
тригонометрический ряд Фурье функции
и учитывая, что
=
для
,
получим
.
Пример
8. На отрезке
[0;1] задана функция
.
Найти ряды Фурье этой функции а)
по синусам. Какова сумма этого ряда.
Решение. На рис.8 представлено нечетное периодическое с периодом 2l = 2 продолжение на всю числовую ось функции f(х).
причем
,
поэтому
-
-
ряд Фурье по синусам имеет сумму, равную
ех
для
,
а в точках
х
= 0 и х
= 1 эта сумма равна 0.
Вычислим коэффициенты этого ряда
.
Имеем
Отсюда следует, что
;
,
поэтому
,
,
причем
Пример 9. Разложить в ряд Фурье функцию, получающуюся периодическим продолжением с периодом 2 из функции
.
Решение. При указанном продолжении (см. рис. 9) данная функция отличается от нечетной только значением в точке х = 0, поэтому, учитывая, что 2l = 2, будем иметь
.
,
.
В частности, если в этом разложении положить , то получим числовой ряд, встречавшийся в примере 2.