- •I. Числовые ряды
- •§ 1. Основные понятия
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 2. Положительные ряды
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 3. Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •§ 4. Функциональные ряды: область сходимости и равномерная сходимость
- •Вопросы для самопроверки
- •III. Степенные ряды
- •§ 5. Основные понятия. Область сходимости степенных рядов
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 6. Основные свойства степенных рядов
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 7. Разложение функций в степенные ряды
- •2. Перейдем теперь к произвольным функциям
- •Вопросы для самопроверки
- •§ 8. Приложения рядов
- •Приближенное вычисление определенных интегралов.
- •Применение рядов к раскрытию неопределенностей.
- •IV.Ряды Фурье.
- •§ 9. Тригонометрический ряд Фурье
- •Основные понятия и определения.
- •Тригонометрический ряд Фурье.
- •Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.
- •Тригонометрический ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [0;l].
- •Условие полноты основной тригонометрической системы функций.
- •Интегрирование тригонометрического ряда Фурье.
- •Дифференцирование тригонометрического ряда Фурье.
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты контрольной работы
- •Литература
- •Содержание
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Пример 1. Вычислим интеграл с точностью 10 - 4.
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя для этого биномиальный ряд 5 § 9.
Интегрируя этот ряд почленно, получаем:
с точностью 10 - 4.
.
Применение рядов к раскрытию неопределенностей.
Мы изучали ряд методов раскрытия неопределенностей, в частности, вида в разделах "Введение математического анализа" и "Дифференциальное исчисление функций одной переменной".
Рассмотрим еще один способ раскрытия неопределенностей, используя при этом разложение функций в ряд. Покажем на примерах.
Пример 2. Вычислить пределы
, |
. |
Решение. а) При непосредственной подстановке х = 0 в данную функцию получим неопределенность вида . Разложим cos 2x и в ряд:
Следовательно,
.
б) Разложим в ряд:
Подставим в заданный предел, получаем:
IV.Ряды Фурье.
§ 9. Тригонометрический ряд Фурье
Основные понятия и определения.
Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она на этом отрезке имеет не более конечного множества точек разрыва, причем все эти точки разрыва (если они существуют) либо устранимые, либо первого рода.
Определение. Кусочно-непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) называется кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на этом отрезке, если производная f'(x) этой функции существует и непрерывна всюду на отрезке [a,b], кроме, быть может, конечного множества точек, в которых существуют соответствующие односторонние производные:
для внутренних точек х отрезка
,
для концов а и b отрезка
.
Введем следующие обозначения:
- множество непрерывных на отрезке [a,b] функций,
- множество кусочно-непрерывных на отрезке [a,b] функций,
- множество кусочно-дифференцируемых на отрезке [a,b] функций,
- множество интегрируемых на отрезке [a,b] функций.
Между этими множествами справедливы следующие соотношения:
; .
Определение. Интегрируемые на отрезке [a,b] функции называются ортогональными на этом отрезке, если
.
Определение. Система функций , интегрируемых на отрезке [a,b], называется ортогональной на этом отрезке, если каждые две функции этой системы ортогональны друг другу на отрезке [a,b], т.е.
, если k т.
В качестве примеров ортогональных систем функций можно привести следующие:
1. Основная тригонометрическая система функций
(1)
ортогональная на отрезке [-l, l].
В частности, если l = , то получим тригонометрическую систему функций
, (2)
ортогональную на отрезке [-,].
Система многочленов Лежандра:
ортогональна на отрезке [-1;1].
Тригонометрический ряд Фурье.
Определение. Функциональный ряд вида
(3)
называется тригонометрическим рядом.
Члены этого ряда (3) - периодические функции с периодом 2l; если ряд (3) сходится на отрезке [-l;l], то он сходится и на всей числовой прямой и сумма S (х) этого ряда является периодической функцией с периодом 2l.
Теорема. Если функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся на отрезке [-l;l] тригонометрический ряд (3):
, (4)
то коэффициенты этого ряда определяются однозначно по формулам Эйлера-Фурье:
(5)
Если функция , то числа , вычисленные по формулам (5) называются коэффициентами Фурье функции f(x) по основной тригонометрической системе функций (1), а соответствующий тригонометрический ряд (3) называется тригонометрическим рядом Фурье функции f(x).
Если (3) - тригонометрический ряд Фурье функции f(х) на отрезке [-l; l], то будем записывать
, (6)
причем запись (4) будет означать, что сумма тригонометрического ряда Фурье функции f(х) равна значению функции f(х) с указанием множества значений х, при которых это равенство выполняется.
Возникает естественный вопрос: Какие условия необходимо наложить на функцию f(х), чтобы тригонометрический ряд Фурье этой функции сходился к ней самой?
Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы.
Теорема 1 (о разложении). Пусть кусочно-дифференцируемая на отрезке [-l; l] функция f(х) продолжена на всю числовую прямую с периодом 2l.
Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(х) сходится в каждой точке х (-;) к значению , т.е.
. (7)
Заметим, что если в точке х функция f(х) непрерывна, то
и, следовательно, сумма тригонометрического ряда Фурье (7) функции f(х) в точке х равна значению функции в этой точке.
Теорема 2 (о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье). Если непрерывная, кусочно-дифференцируемая на отрезке [-l; l] функция f(х) имеет равные значения на концах этого отрезка:
,
то тригонометрический ряд Фурье функции f(х) сходится равномерно к самой функции на отрезке [-l; l], т.е.
, (8)
где - коэффициенты Фурье функции f(х), вычисляемые по формулам (5).