Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теорему о равномерной сходимости степенного ряда.
2. Сформулируйте теорему об интегрировании степенного ряда.
3. Сформулируйте теорему о дифференцировании степенного ряда.
4. Как выражаются коэффициенты степенного ряда через его сумму?
§ 7. Разложение функций в степенные ряды
Говорят,
что функция f(x)
разлагается в степенной ряд
на интервале (-r,r),
если на этом интервале данный степенной
ряд сходится и его сумма равна f(x),
т.е.
f(x) = , х (-r,r), r > 0. (11)
Определение 1. Если f(x) на интервале (-r,r) разлагается в степенной ряд, то она называется аналитической функцией. Одна и та же функция f(x) не может иметь двух различных разложений вида (11), т.к. справедлива
Теорема 1. Если функция f(x) разлагается в некотором промежутке в степенной ряд по степеням х, то это разложение единственно.
Коэффициенты ряда (11) определяются по формулам Тейлора:
(12)
Определение 2. Степенной ряд с коэффициентами (12), вычисленными по некоторой функции f(x), называется рядом Тейлора этой функции f(x).
Итак, для всякой бесконечно дифференцируемой в (-r,r) функции f(x) можно составить её ряд Тейлора:
,
который часто называют рядом Маклорена.
Сформулируем критерий разложимости функции f(x) в степенной ряд.
Теорема 2. Для того, чтобы функцию f(x) можно было разложить в степенной ряд на интервале (-r,r), r 0, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была бесконечно дифференцируема на этом интервале и остаточный член в формуле Тейлора
стремился к нулю при всех х (-r,r), когда п (формулу Тейлора изучали в дифференциальном исчислении).
Остаточный член может быть представлен в одной из форм, например,
в форме Лагранжа:
,
в форме Коши:
или в интегральной форме:
.
Одним из достаточных признаков разложимости функции в степенной ряд, удобным в практических целях, является следующая
Теорема 3. Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в [-r,r] и все её производные ограничены одним числом
[-r,r],
то ряд Тейлора функции f(x) сходится в [-r,r] к f(x).
Замечание1. Не всякая бесконечно дифференцируемая функция f(x) разлагается в ряд Тейлора, сходящийся к самой функции f(x).
Необходимо помнить пять основных разложений, а именно:
.
.
.
.
5.
.
Этот ряд называют биномиальным рядом.
Частным случаем при т = - 1 разложения 5 является разложение (сумма геометрической прогрессии):
.
Замечание 2. Все рассуждения этого параграфа можно перенести для функции f(х), разлагаемой в ряд по степеням (х - а). Тогда ряд Тейлора примет вид
.
В предыдущем параграфе мы получили еще одно разложение.
.
Приведем ряд примеров разложения функций в ряд Тейлора.
Пример
1. Разложим
в ряд Маклорена функцию
.
Решение. Вычислим коэффициенты ряда Тейлора, для чего найдем производные данной функции и их значения в точке х = 0
;
Методом математической индукции можно доказать, что
Покажем, что остаточный член Rn 0 при п . Тогда по теореме 2 заданную функцию f(x) можно разложить в ряд Тейлора.
Rn в форме Лагранжа имеет вид
0 < <1.
Покажем, что
.
Рассмотрим ряд
.
По признаку Даламбера получаем:
.
Следовательно,
ряд сходится на промежутке (-;),
поэтому по необходимому признаку
сходимости рядов его общий член
при
п .
Таким образом, данная функция f (х) разлагается в ряд Тейлора:
.
Пример
2. Разложим
в ряд Тейлора в точке х=1
функцию f
(х)
=
.
Решение. Находим производные функции f (х) и их значения в точке х = 1.
|
|
|
..................................................... |
|
...................................................... |
;
;
;
;Следовательно, ряд Тейлора данной функции примет вид:
.
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:
.
Отсюда, заключаем, что с лежит между 1 и х .
Тогда
.
Докажите
самостоятельно, что
при
по аналогии с предыдущим примером.
Итак получаем:
.
Рассмотренные примеры показали, что определение коэффициентов разложения функций в ряд Тейлора связано с многократным дифференцированием и нахождением значений производных в данной точке, что часто приводит к громоздким технически трудным выкладкам. Исследование остаточного члена и доказательство того, что
представляет большие трудности.
Поэтому, в силу теоремы 1, рассмотрим другие способы разложения функции в степенной ряд.
Для этого будем использовать готовые разложения основных элементарных функций (1 - 6), арифметические операции сходящихся рядов, а также теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.
1. Рассмотрим вначале дробно-рациональные функции, которые имеют вид:
где
и
- многочлены степени n
и m,
соответственно.
Эти функции можно разложить в степенной ряд, не применяя теоремы 2 и 3 , например, следующим путем:
а) разложением функции f(x) на простейшие дроби;
б) преобразованием полученных простейших дробей или в ряд некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, или к дроби, являющейся результатом k-кратного дифференцирования ряда этой прогрессии;
в) определением общего промежутка сходимости для всей суммы простейших дробей, т.е. для заданной рациональной функции f(x).
Пример
3. Разложим
в ряд Тейлора функцию
по степеням (x+1).
Решение. Преобразуем данную функцию так:
.
Используя
формулу (5), суммы геометрической
прогрессии, получаем при
,
т.е. при
следующее разложение:
,
или
.
Пример 4. Разложим функцию
в ряд Тейлора по степеням х.
Решение. Раскладываем данную функцию на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов:
,
Итак,
.
Раскладываем в ряд каждую простейшую дробь.
Продифференцировав ряд
получаем:
Следовательно,
или
или
