- •1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •2. Аксематическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельная теорема Пуассона.
- •5. Классификация случайных величин.
- •2) Непрерывные случайные величины.
- •6. Математическое ожидание и его свойства.
- •7. Дисперсия и ее свойства.
- •Свойства дисперсии:
- •8. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойства характеристической функции :
- •Способы описания св:
- •9.Теорема об обращении характеристической функции.
- •1 1. Виды сходимости случайных последовательностей.
- •13.Критерий сходимости в среднем квадратичном.
- •15. Усиленный закон больших чисел.
- •16. Центральная предельная теорема.
- •10.Производящие функции и их свойства.
- •17. Определение случайного процесса.
- •19. Статистические средние характеристики случайных процессов.
- •20. Сходимость в среднем квадратичном для случайных процессов.
- •21. Непрерывность случайных процессов.
- •22. Дифференцируемость случайных процессов.
- •23. Интегрирование случайных процессов.
- •24. Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •25. Процессы с независимыми приращениями.
- •26. Гауссовский случайный процесс.
- •27. Винеровский случайный процесс.
- •28. Марковские случайные процессы и цепи маркова определения.
- •29. Однородные цепи Маркова.
- •32. Уравнения Чепмена-Колмогорова.
- •33. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций.
- •34. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода
- •35. Свойство периода состояния.
- •36. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей
- •37. Критерий возвратности состояний.
- •38.Эргодические цепи Маркова
- •40. О средних временах переходов между состояниями
- •41. Стационарные цепи Маркова
- •42. Оптимальные стратегии в марковских цепях
- •43. Система диф.Ур-ий Колмогорова для однородной цепи Маркова с конеч.Числом состояний.
- •44. Процесс гибели и размножения
- •49. Обобщенное уравнение Маркова
- •50.Диффузионные процессы
- •51. Обратное уравнение Колмогорова
- •45. Марковские системы массового обслуживания.
- •Рассмотрим систему с простейшим потоком и экспоненциальным обслуживанием
- •46. Система обслуживания м / м / 1
- •47.Система м / м / n / 0
- •48. Система обслуживания м / м / n
- •52.Прямое уравнение Колмогорова для диффузных процессов
- •53. Стохастический интеграл Ито
- •54. Стохастический интеграл в форме Стратоновича
- •55. Стохастические дифференциальные уравнения
- •39. Закон больших чисел для цепей Маркова с конечным числом состояний.
- •57. Стационарность гауссовского случ.Процесса.
- •58. Теорема Бохнера., спектральная плотность случ.Процесса.
- •60. Мартингалы.
- •18. Пуассоновский случ.Процесс
- •Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
33. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций.
Рассмотрим однородную цепь Маркова с дискретным временем и конечным числом состояний, Х={1,2,…,N}. Прямое уравнение Чепмена-Колмогорова для нее можно переписать в виде
Данное соотношение обычно используют для вычисления при небольших n. При больших n используют след. метод.
Обозначим
Тогда уравнение (1) выполняется при n=1, что можно проверить непосредственной подстановкой. Введем в рассмотрение производящие функции
Ряд в правой части сходится по крайней мере при |z|<1, так как Умножив обе части уравнения (1) на zn и просуммировав по n от 1 до ∞, получим
Или
Отсюда следует, что
Подставив в это равенство (2), находим
Получили систему N2 уравнений с N2 неизвестными. Обозначим через Δ(z) определитель этой системы. Имеем
.
При малом z диагональные элементы близки к 1, а недиагональные - к 0, т.е. определитель Δ(z) близок к 1. Значит, Δ(z)≠0 в некоторой окрестности точки z=0 и система уравнений (4) имеет единственное решение.
34. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода
Рассмотрим цепь Маркова с дискретным временем и счетным числом состояний, .
Опр.: Состояние называется несущественным, если из него с положительной вероятностью можно за конечное число шагов выйти, но нельзя в него вернуться, т.е. что , но
Если из множества выделить все несущественные состояния, то оставшееся множество существенных состояний обладает тем свойством, что, попав в него, цепь Маркова никогда из него не выйдет.
Рассмотрим множество существенных состояний.
Опр.: Состояние называется достижимым из состояния (обозначается ), если , что ( ). Состояния и называются сообщающимися (обозначается ), если достижимо из и достижимо из .
Отношение является симметричным ( ), рефлексивным ( ) и транзитивным ( ). Поэтому множество существенных состояний разбивается на конечное или счетное число непересекающихся множеств состоящих из сообщающихся состояний и характеризующихся тем, что переходы между различными множествами невозможны.
Опр.: Множества называются классами, или неразложимыми классами, существенных сообщающихся состояний. Цепи Маркова, состояния которой образуют один неразложимый класс, называется неразложимой. Неразложимые классы можно разбить на циклические подклассы.
Опр.: Состояние имеет период , если выполнены условия:
1) только для тех , которые имеют вид ;
2) есть наибольшее из чисел, обладающих свойством 1). Т.е. есть наибольший общий делитель чисел таких, что (если для всех , то полагаем ).
35. Свойство периода состояния.
Теорема (свойство периода состояния). Если состояния и сообщающиеся ( ), то их периоды равны ( ). Т.е. все состояния одного неразложимого класса имеют один и тот же период .
Док-во: Пусть , т.е. . Тогда , что . Отсюда, используя уравнение Чепмена-Колмогорова, получаем следует, что делится на , т.е. . Аналогично поэтому делится на , т.е. Таким образом, делится и на , и на . Далее имеем и, т.к. делится на , то должно делиться на . В силу симметрии делится на . Т.к. - произвольные положительные целые числа, а и – наибольшие общие делители соответствующих чисел, то .
Опр.: Если ( ), то состояние (класс ) называется апериодическим (эргодическим).