- •1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •2. Аксематическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельная теорема Пуассона.
- •5. Классификация случайных величин.
- •2) Непрерывные случайные величины.
- •6. Математическое ожидание и его свойства.
- •7. Дисперсия и ее свойства.
- •Свойства дисперсии:
- •8. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойства характеристической функции :
- •Способы описания св:
- •9.Теорема об обращении характеристической функции.
- •1 1. Виды сходимости случайных последовательностей.
- •13.Критерий сходимости в среднем квадратичном.
- •15. Усиленный закон больших чисел.
- •16. Центральная предельная теорема.
- •10.Производящие функции и их свойства.
- •17. Определение случайного процесса.
- •19. Статистические средние характеристики случайных процессов.
- •20. Сходимость в среднем квадратичном для случайных процессов.
- •21. Непрерывность случайных процессов.
- •22. Дифференцируемость случайных процессов.
- •23. Интегрирование случайных процессов.
- •24. Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •25. Процессы с независимыми приращениями.
- •26. Гауссовский случайный процесс.
- •27. Винеровский случайный процесс.
- •28. Марковские случайные процессы и цепи маркова определения.
- •29. Однородные цепи Маркова.
- •32. Уравнения Чепмена-Колмогорова.
- •33. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций.
- •34. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода
- •35. Свойство периода состояния.
- •36. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей
- •37. Критерий возвратности состояний.
- •38.Эргодические цепи Маркова
- •40. О средних временах переходов между состояниями
- •41. Стационарные цепи Маркова
- •42. Оптимальные стратегии в марковских цепях
- •43. Система диф.Ур-ий Колмогорова для однородной цепи Маркова с конеч.Числом состояний.
- •44. Процесс гибели и размножения
- •49. Обобщенное уравнение Маркова
- •50.Диффузионные процессы
- •51. Обратное уравнение Колмогорова
- •45. Марковские системы массового обслуживания.
- •Рассмотрим систему с простейшим потоком и экспоненциальным обслуживанием
- •46. Система обслуживания м / м / 1
- •47.Система м / м / n / 0
- •48. Система обслуживания м / м / n
- •52.Прямое уравнение Колмогорова для диффузных процессов
- •53. Стохастический интеграл Ито
- •54. Стохастический интеграл в форме Стратоновича
- •55. Стохастические дифференциальные уравнения
- •39. Закон больших чисел для цепей Маркова с конечным числом состояний.
- •57. Стационарность гауссовского случ.Процесса.
- •58. Теорема Бохнера., спектральная плотность случ.Процесса.
- •60. Мартингалы.
- •18. Пуассоновский случ.Процесс
- •Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
13.Критерий сходимости в среднем квадратичном.
Лемма. Пусть
Доказательство. Следует из соотношения
и неравенства Шварца для математических ожиданий, которое используется для каждого слагаемого в правой части этого соотношения, например
Теорема (критерий сходимости в среднем квадратичном). Для того чтобы последовательность {ξk(ω), k=1,2,…} сходилась в среднем квадратичном к некоторой СВ, необходимо и достаточно, чтобы существовал предел:
Доказательство. Необходимость. Пусть
Положим ηn(ω)=ξn(ω), тогда по лемме, будем иметь
И в качестве А можно взять Мξ2(ω).
Достаточность. Пусть
следовательно, последовательность {ξk(ω), k=1,2,…} является фундаментальной в среднем квадратичном и поэтому сходится в этом смысле
14. Закон больших чисел.
Определение: если
то говорят, что для последовательности СВ {ξk(ω), k=1,2,…} выполняется закон больших чисел.
Используя определение сходимости по вероятности , получаем, что в этом случае
Теор1. Для того чтобы посл-ти СВ {ξk(ω), k=1,2,…} выполнялся закон больших чисел, необход и дост, чтобы
Доказательство. Необходимость. Пусть
Отсюда следует, что
Достаточность. Нам дано, что
Рассмотрим следствия из этой теоремы.
Теорема Маркова. Если
То имеет место закон больших чисел.
Это вытекает из соотношения
.
Теорема Чебышева. Если посл-сть независимых СВ {ξk(ω), k=1,2,…}, такова, что D{ξk(ω)}≤c, k=1,2,…, где с- некоторая константа, то имеет место закон больших чисел.
Это следует из теоремы Маркова и незс-ти СВ, поскольку
15. Усиленный закон больших чисел.
Приведем вспомогательное неравенство, известное как неравенство Гаека-Реньи: пусть {ξk(ω), k=1,2,…} последовательность независимых СВ,
Мξk(ω)=аk, Dξk(ω)=σ2k, k=1,2,…. Если с1,с2,…-невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то для любых m и n, таких, что m<n, и для любого ε>0
Теорема1.(усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова). Пусть {ξk(ω), k=1,2,…} последовательность независимых СВ . Тогда для нее выполняется усиленный закон больших чисел, т.е.
Доказательство. В неравенстве Гаека-Реньи положим сk=1/k и, т.к. оно справедливо для любого n,
В связи с этим, устремляя м к ∞, получаем
Что и доказывает теорему.
Теорема2.(Колмогорова). Пусть {ξk(ω), k=1,2,…} последовательность независимых одинаково распределенных СВ. Для выполнения усиленного закона больших чисел необходимо и достаточно существование у СВ конечного математического ожидания.
16. Центральная предельная теорема.
Теорема1.(Линдеберга). Если послед-сть независимых СВ ξ1(ω),ξ2(ω),… при τ>0 удовлетворяет усл. Линдеберга:
то при n→∞ равномерно относительно х
Доказательство. Пусть
Условия Линдеберга можно переписать в виде
Характеристическая функция суммы
Где φnk(x)-харак-cкая функция СВ ξnk. Нам требуется доказать, что , где - хар-ская фун. СВ, распределенной по нормальному закону с параметрами (0,1). Докажем в начале, что равномерно относительно k, 1≤k≤n. Поскольку
Неравенства (4) позволяют получить след. oценку:
Поэтому согласно (3), равномерно в каждом конечном интервале значений t limn→∞(ρn)=0(5). Таким образом, из
и (5) следует, что что и требовалось док.