Свойства дисперсии:

1. ;

2. Если , то СВ является константой.

3. , где .

4. , где .

5. Если и - независимая СВ, то .

Доказательство:

6. Неравенство Чебышева для дисперсии: .

Распределение (название)	Плотность
СВ Бернулли
СВ Пуассона
Равномерная СВ
Экспоненциальная СВ
Нормальная СВ

8. Характеристические функции и их свойства.

Определение: Характеристической функцией СВ называется функция: .

.

,

.

Характеристическая функция существует всегда для любой СВ:

, т.е. .

Свойства характеристической функции :

1. .

2. , где и - константы.

Доказательство:

.

3. Если - независимая СВ, то: .

Доказательство:

.

4. Характеристическая функция - равномерная непрерывная функция, т.е. .

5. Если , то .

6. Если , то определено разложение характеристическое функции в ряд Маклорена:

.

7. .

Способы описания св:

Существуют следующие способы описания СВ:

1. С помощью функции распределения .

2. С помощью момента:

,

3. Характеристической функцией.

4. Семиинвариантной СВ.

9.Теорема об обращении характеристической функции.

Теорема: Если F_ξ(x) - ф.р. СВ ξ , φ_ξ(t) - ее характеристическая функция , то для любых точек непрерывности х и у функции F_ξ(x):

Доказательство.

1. Пусть F_ξ(x) - абсолютно непрерывная функция. В этом случае существует обратное преобразование Фурье:

Тогда проинтегрировав обе стороны этого соотношения от х до у, получим

1 1. Виды сходимости случайных последовательностей.

Опр. Последовательность СВ {ξ_k(ω), k=1,2...} сходится к СВ ξ(ω) по вероятности (обозначается

если

С уществует еще несколько типов сходимости случайных последовательностей:

- сходимость почти наверное (п.н.) (с вероятностью 1):

сходимость в среднем порядка r (предполагается, что M|ξ_k(ω)|^r<+∞):

е сли r=1, то имеем сходимость в среднем; если r=2 - то сходимость в среднем квадратичном, которая записывается в виде

- сходимость по распределению:

во всех точках непрерывности ф.р. F_ξ(x), обозначается

также

Теорема1.(достаточный признак сходимости почти наверное). Если для любого ε>0 с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий

То

Рассмотрим непосредственные соотношения между различными типами сходимости случ. посл-тей. Очевидно,

откуда вытекает, что из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Используя неравенства Чебышева и Ляпунова для мат. ожиданий, получаем, что

Поэтому из сходимости в среднем порядка q следует сходимость в среднем порядка r<q, в частности, сходимость в среднем; из сходимости в среднем следует сходимость по вероятности.

Теорема.1. Из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению.

Соотношения между различными типами сходимости случайных последовательностей можно отобразить на следующей схеме.

12 Лемма Бореля-Кантелли (закон нуля и единицы): Пусть {A_k,k=1,2,…}- последовательность случайных событий, заданных на вероятностном пространстве (Ω,F,P), A- событие, заключающееся в том, что произойдет бесчисленное множество событий A_k , т.е.