39. Закон больших чисел для цепей Маркова с конечным числом состояний.

Для цепи Маркова с конечным числом состояний

И произвольного начального распределения

56. Стационарные в узком и широком смысле случ.процессы.

Опр. Случ.процесс называется стационарным в узком смысле, если для конечномерных ф.р. выполняется равенство:

(14.1)

и т.е.его конечномерное распределение инвариантно относительно сдвига всех моментов времени , i=1,n на одну и ту же вел-ну .

Опр. Случ.процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение не зависит от времени

(14.3)

а корреляционная ф-ия зависит лишь от разности аргументов, (14.4)

Очевидно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле. Наоборот верно не всегда.

57. Стационарность гауссовского случ.Процесса.

Теорема 14.1

Гаусовский процесс стационарный в широком смысле является стационарным и в узком смысле.

Док-во:

(14.5)

Где K=||K( )||=| _{n*n ,}

i,j=1,n, -алгебраическое дополнение элемента K( ) матрицы ковариаций K. Для стационарного в широком смысле процесса

, поэтому многомерная ф.р. (14.5) зависит только от n и : , i,j=1,n

Отсюда видно, что при переходе к моментам времени , i=1,n, ф.р. не изменится, т.е. соотношение (14.1) выполнено.

58. Теорема Бохнера., спектральная плотность случ.Процесса.

Теорема 14.4 (Бохнера).

Для ф-ции R(t), обладающей св-ми 14.6-14.8, существует ф-ция F( )-неубыв.-ая, ограниченной вариации, такая, что

(14.11)

Следствие:

Если R(t)-корреляционная ф-ция стац.случ.процесса , то справедливо выражение (14.11). При этом называется спектральной ф-ией процесса . Если ф-ия дифференцируема, то = называется спектральной плотностью процесса ,

(14.15)

60. Мартингалы.

Мартингалы являются классом случайных процессов с очень полезными сво-ми, которые в последнее время всё шире находят применение, например, в финансовой экономике.

Опр.Случ.процесс называется мартингалом, если существует условное мат.ожидание

, которое не зависит от предшествующих значений процесса , , k=1, i-2

Мартингалы можно рассматривать как модели безобидных игр. Если описывает состояние капитала игрока в момент времени , тогда по определению мартингала средняя вел-на его капитала в момент времени при условии, что в момент времени он располагал капиталом , равна независимо от того, каков был его капитал дл момента

Опр. Случ.процесс назыв. Субмартингалом, если , и суперматрингалом, если

. Очевидно, что если , то ( )- супермартингал.

Теорема 14.8

Пусть g(x)-выпуклая вниз ф-ия, -мартингал. Тогда, если существует мат.ожидание Mg( ), то g( )-субмартингал.