- •1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •2. Аксематическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельная теорема Пуассона.
- •5. Классификация случайных величин.
- •2) Непрерывные случайные величины.
- •6. Математическое ожидание и его свойства.
- •7. Дисперсия и ее свойства.
- •Свойства дисперсии:
- •8. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойства характеристической функции :
- •Способы описания св:
- •9.Теорема об обращении характеристической функции.
- •1 1. Виды сходимости случайных последовательностей.
- •13.Критерий сходимости в среднем квадратичном.
- •15. Усиленный закон больших чисел.
- •16. Центральная предельная теорема.
- •10.Производящие функции и их свойства.
- •17. Определение случайного процесса.
- •19. Статистические средние характеристики случайных процессов.
- •20. Сходимость в среднем квадратичном для случайных процессов.
- •21. Непрерывность случайных процессов.
- •22. Дифференцируемость случайных процессов.
- •23. Интегрирование случайных процессов.
- •24. Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •25. Процессы с независимыми приращениями.
- •26. Гауссовский случайный процесс.
- •27. Винеровский случайный процесс.
- •28. Марковские случайные процессы и цепи маркова определения.
- •29. Однородные цепи Маркова.
- •32. Уравнения Чепмена-Колмогорова.
- •33. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций.
- •34. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода
- •35. Свойство периода состояния.
- •36. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей
- •37. Критерий возвратности состояний.
- •38.Эргодические цепи Маркова
- •40. О средних временах переходов между состояниями
- •41. Стационарные цепи Маркова
- •42. Оптимальные стратегии в марковских цепях
- •43. Система диф.Ур-ий Колмогорова для однородной цепи Маркова с конеч.Числом состояний.
- •44. Процесс гибели и размножения
- •49. Обобщенное уравнение Маркова
- •50.Диффузионные процессы
- •51. Обратное уравнение Колмогорова
- •45. Марковские системы массового обслуживания.
- •Рассмотрим систему с простейшим потоком и экспоненциальным обслуживанием
- •46. Система обслуживания м / м / 1
- •47.Система м / м / n / 0
- •48. Система обслуживания м / м / n
- •52.Прямое уравнение Колмогорова для диффузных процессов
- •53. Стохастический интеграл Ито
- •54. Стохастический интеграл в форме Стратоновича
- •55. Стохастические дифференциальные уравнения
- •39. Закон больших чисел для цепей Маркова с конечным числом состояний.
- •57. Стационарность гауссовского случ.Процесса.
- •58. Теорема Бохнера., спектральная плотность случ.Процесса.
- •60. Мартингалы.
- •18. Пуассоновский случ.Процесс
- •Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
5. Классификация случайных величин.
Классификация случайных величин проводится по специфическим свойствам и функциям распределения.
1) дискретные случайные величины.
В этом случае множество значений конечно либо счетно. . Функция распределения дискретной случайной величины обладает специфическими свойствами:
она имеет конечное или счетное множество точек разрыва первого рода;
если точка х – точка непрерывности функции распределения , то и .
Пример дискретной случайной величины:
случайная величина Бернулли , и ;
биномиальная случайная величина ;
случайная величина Пуассона
геометрическая случайная величина
2) Непрерывные случайные величины.
Для функций распределения непрерывных случайных величин имеет место следующее соотношение: (*).
Определение. Функция из (*) называется плотностью распределения вероятности случайной величины .
В точках существования производной плотность обладает следующими свойствами:
, т.к. есть производная неубывающей функции;
условие нормировки для плотностей: , т.к. ;
.
Рассмотрим примеры непрерывных случайных величин:
случайная величина имеет равномерное распределение, если . Следовательно, .
Случайная величина имеет нормальное (распределение Гаусса), если , где а – среднее значение случайной величины, - среднее квадратичное отклонение случайной величины.
Если , то случайна величина называется стандартной нормированной случайной величиной и пишут .
случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если
распределение Коши
.
6. Математическое ожидание и его свойства.
Пусть имеется случайная величина , заданная на вероятностном пространстве . Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины
Если - дискретная случайная величина , то , где - значения дискретной случайной величины, - соответствующая им вероятность.
Если - непрерывная случайная величина , то - плотность распределения случайной величины .
Рассмотрим свойства математического ожидания:
1) если , то
2) , где С – некоторая константа
3) если
4)
5) введем случайную величину , А – некоторое множество. называется индикатором события А.
6) если две случайные величины и – независимые случайные величины, то .
Определение. Независимыми называются такие случайные величины и , для которых совместная функция распределения .
Если и – непрерывные случайные величины и являются независимыми, то .
7)
8) пусть - некоторая измеримая функция. Рассмотрим случайную величину , тогда .
9) пусть - многомерная случайная величина, т.е. , , где каждая компонента этого вектора .
7. Дисперсия и ее свойства.
Определение: Дисперсия СВ называется центральным моментом случайной величины 2-го порядка . Дисперсия СВ - это разброс значений СВ от своего среднего.
Определение: Среднее квадратичное отклонение СВ называется величина .
Для дисперсии случайной величины справедливо следующее равенство: .
Доказательство:
.